★数学文化——立体几何背景问题2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n内容索引一二三几何体体积中的数学文化几何体表面积中的数学文化球的切、接问题中的数学文化\n几何体体积中的数学文化\n1.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是:有一个空心金球,它的直径12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,试问金球重是多少斤?(注:π取3,寸、斤是我国古代计量单位)()A.125.77B.864C.123.23D.369.69C由题意知,大球半径R=6,空心球的半径r=6-0.3=5.7,则其体积(63-5.73)≈123.23(立方寸).又1立方寸金重1斤,则金球重123.23斤,故选C.\n2.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:丈、尺是我国古代计量单位,一丈等于十尺)()A.24642B.26011C.52022D.78033B\n3.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有羡除”.刘徽注:“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD,ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是()A.110B.116C.118D.120D\n\n4.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一.如图是斗拱构件之一的“斗”的几何体,由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是400cm2,900cm2,高为9cm,长方体形凹槽的高为12cm,“斗”的密度是0.50g/cm3.那么这个“斗”的质量是()A.3990gB.3010gC.6900gD.6300gC\n\n图①图②D\n\n6.我国数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图,将底面直径都为2b,高皆为a的椭半球体和被挖去同底等高的圆锥的圆柱放置于同一平面β上,用平行于平面β且与平面β距离为d的平面截这两个几何体,可得到圆和圆环两个截面且面积相等.据此,短半轴长为1,长半轴长为3的椭球体的体积是.4π\n\n几何体表面积中的数学文化\n7.阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现,后人按照他生前的要求,在他的墓碑上刻着圆柱内切球的图案.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若球的体积为36π,则圆柱的表面积为()A.36πB.45πC.54πD.63πC\n因为球的体积为36π,设球的半径为r,则,所以r=3,又圆柱的底面直径与高都等于球的直径,所以圆柱的底面圆半径为r=3,高为h=2r=6,因此圆柱的表面积为S=2πr2+2πr·2r=6πr2=54π.\n8.我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”.现有一鳖臑P-ABC如图所示,PB⊥底面ABC,AC⊥BC,PB=AC=4,其体积为8,则其表面积为()B\n9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有仓,广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛,问高几何?”其意思为:有一个长方体的粮仓,宽3丈,长4丈5尺,可装粟一万斛.已知1斛粟的体积为2.7立方尺,1丈为10尺,则该粮仓的高是尺.若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内,且使这个圆柱形粮仓的表面积(含上下两底)最小,那么它的底面半径是尺.20\n设长方体高为h,根据长方体体积公式可得10000×2.7=30×45×h,解得h=20尺.设圆柱形粮仓的底面半径为R,高为H,表面积为S.根据题意可知,长方体粮仓的体积等于圆柱形粮仓的体积,\n球的切、接问题中的数学文化\n三、球的切、接问题中的数学文化10.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体积为18,则半球的表面积为()A.9πB.18πC.27πD.36πC\n11.蹴鞠(如图所示),又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等.蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.将鞠看作球体,已知其表面上有四个点A,B,C,D,满足AB=CD=5,BD=AC=6,AD=BC=7,则该鞠的表面积为()A.55πB.60πC.63πD.68πA\n将三棱锥A-BCD补成长方体AEBF-GDHC,使得三棱锥A-BCD的各棱为长方体AEBF-GDHC的面对角线,设EA=x,EB=y,ED=z,该鞠的半径为R,由勾股定理可得AB2=x2+y2=25,AC2=y2+z2=36,AD2=x2+z2=49,上述三个等式相加得2(x2+y2+z2)=25+36+49=110,因此,该鞠的表面积为S=4πR2=π×(2R)2=55π.\n12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为2的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为()A\n13.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=2,当阳马B-ACC1A1的体积为时,堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积的最小值为()B\n14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为,则正方体的外接球的表面积为.12π\n
