★数学文化——数列背景问题2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动.《普通高中数学课程标准》明确提出数学文化应融入数学教学活动.在教学活动中,教师应有意识地结合相应的教学内容,将数学文化渗透在日常教学中,引导学生了解数学的发展历程,认识数学在科学技术、社会发展中的作用,感悟数学的价值,提升学生的科学精神、应用意识和人文素养,将数学文化融入数学教学、数学学习中,有利于激发学生的数学学习兴趣,有利于学生进一步理解数学,有利于开阔学生视野、提升数学学科核心素养.我国古代数学强调“经世济用”,注重算理算法,其中很多有关科技、人文等实际问题可转化为等差数列、等比数列问题.\n内容索引一二三数学文化中的等差数列数学文化中的等比数列等差数列、等比数列综合问题与数学文化四数列求和中的数学文化\n数学文化中的等差数列\n一、数学文化中的等差数列1.(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法正确的是()(注:“丈、尺、寸”为非国际通用单位)A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短ABC\n由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an},其中a1=15寸,a13=135寸,设公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10,同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn},首项b1=135,末项b13=15,公差d1=-10,故选项A正确;由于春分的晷长为b7,即b7=b1+6d1=135-60=75.而秋分的晷长为a7,则a7=a1+6d=15+60=75,即a7=b7,故选项B正确;因为立冬的晷长为a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷长为一丈五寸,故选项C正确;立春的晷长和立秋的晷长分别为b4,a4,即a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d1=135-30=105,则b4>a4,故选项D错误.\n2.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问相逢时良马比驽马多行()里.(注:“里”为非国际通用单位,1里=500米)A.540B.426C.963D.114A\n3.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均输章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,甲所得为.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,根据题意,可知等差数列{an}前五项的和为5,前两项和与后三项和相等,\n数学文化中的等比数列\n4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的底层共有灯()A.64盏B.128盏C.192盏D.256盏C设塔的顶层共有a1盏灯,第n层的灯有an盏,则数列{an}是公比为2的等比数列,即an=a1·2n-1.由题意可知,一座7层塔所挂的灯的盏数为解得a1=3.故塔的底层的灯的盏数为a7=3×26=192.\n二、数学文化中的等比数列5.(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.则下列说法正确的是()A.此人第三天走了二十四里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的D.此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍BD\n\n6.著名物理学家李政道说:“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律,是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足.若某一半音与D#的频率之比为,则该半音为()A.F#B.GC.G#D.AB\n\n等差数列、等比数列综合问题与数学文化\n7.《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长3尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()(结果精确到0.1,参考数据lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天A\n\n8.(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元5世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其大意为“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an,设bn=,对于数列{an},{bn},下列结论中正确的为()(注:“尺”为非国际通用单位,1米=3尺)BD\n\n数列求和中的数学文化\n9.(多选)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则下列说法正确的是()A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182C.此数列偶数项的通项公式为a2n=2n2D.此数列的前n项和Sn=n(n-1)AC观察此数列,偶数项的通项公式为a2n=2n2,奇数项是后一项减去后一项的项数,即为a2n-1=a2n-2n,由此可得a20=2×102=200,A正确,C正确;a19=a20-20=180,B错误;Sn=n·(n-1)=n2-n是一个等差数列的前n项和,而题中数列不是等差数列,故该数列的前n项和不可能为Sn=n(n-1),D错误.\n10.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()A.1624B.1198C.1024D.1560C\n\n11.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方:将1,2,…,9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15,如图所示.一般地,将连续的正整数1,2,…,n2填入n×n个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上数的和为Nn,例如N3=15,N4=34,N5=65,……那么Nn=.\n
