7.6立体几何中的向量方法第七章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.\n备考指导立体几何解答题是高考六道大题之一,每年必考,主要考查空间线、面位置关系的性质与判定,应用向量方法求空间角,折叠问题以及存在性探究题等,难度中等.主要涉及逻辑推理、直观想象和数学运算的学科素养,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.复习时要注意归纳常用的证明空间平行、垂直的模型与规律,认真分析图形,建立恰当的空间直角坐标系,准确写出相关坐标,计算所求的角或角的函数值等.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】\n(3)空间平面的法向量①定义:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.\n2.空间中直线、平面位置关系的向量表示\n温馨提示1.用向量刻画空间中直线、平面的平行、垂直关系时,要注意线面关系与向量关系的异同,可简记为“同类同性,异类相反”,即线线平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直),但线面平行(垂直)中向量变为垂直(平行).2.因为直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以应优先选取方便运算的向量.\n\n\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.()(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.()(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.()××√××\n2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()C\n3.已知点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()A4.设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为.α⊥βα∥β当v=(3,-2,2)时,u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0⇒α⊥β.当v=(4,-4,-10)时,v=-2u⇒α∥β.\n5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面PAB与平面PCD的夹角为.45°如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,知AD⊥平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,又CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1利用空间向量证明平行、垂直例1如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1⊥平面AA1C;(2)AB1∥平面A1C1C.\n证明∵二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,AA1⊂平面A1ABB1,∴AA1⊥平面BAC.又AB=AC,,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1两两互相垂直.以A为坐标原点,以AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=2,则点A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).\n\n解题心得1.用向量法证明平行类问题的常用方法\n2.用向量法证明垂直类问题的常用方法\n对点训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.\n证明(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.所以点O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).\n能力形成点2利用空间向量解决探索性问题例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.\n\n\n解题心得立体几何探索性问题的求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判断关于z0的方程是否有解.\n对点训练2如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.\n(1)证明连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.\n\n能力形成点3利用空间向量求空间角命题角度1利用空间向量求直线与平面所成的角例3如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.\n(1)证明由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.\n\n命题角度2利用空间向量求两个平面的夹角例4如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值.\n(1)证明由∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.\n\n解题心得1.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.2.利用向量法求两个平面的夹角的方法:求出两个平面的法向量分别为n1,n2,设两个平面的夹角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|,进而求出θ的值.\n对点训练3(1)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.①求证:AB⊥CD;②若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.\n①证明∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.②解过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由①知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.\n\n(2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,,∠BAD=120°.①求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;②求平面A1BD与平面A1AD的夹角的正弦值.\n\n\n能力形成点4利用空间向量求距离例5如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,,求点A到平面MBC的距离.\n解如图,取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,交线为CD,所以OM⊥平面BCD.以O为坐标原点,OC,BO,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.\n\n解题心得1.求解点到平面距离的基本步骤为:\n2.求平面外一点B到平面α的距离,可以先求出点B在平面内的射影,再运用两点间的距离公式.3.求线面距离、面面距离可转化为求点面距离来解决.\nBC\n\n\n\n第三环节 学科素养提升\n转化与化归思想——立体几何中的展开问题典例在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,如图所示,则CP+PA1的最小值为.\n解析:PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后转化为平面上的问题.展开平面A1BC1,平面BCC1,如图所示,计算得A1B=AB1=,BC1=2.又A1C1=6,故△A1BC1是直角三角形,∠A1C1B=90°.又△BCC1为等腰直角三角形,所以∠A1C1C=135°.设P是BC1上任一点,则CP+PA1≥A1C,即当A1,P,C三点共线时,CP+PA1有最小值.在△A1C1C中,由余弦定理,得\n解题心得1.“展开问题”是“折叠问题”的逆向思维,“展开问题”是指将立体图形的表面(或部分表面)按一定的要求铺成平面图形,再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型.解决展开问题的关键是:确定需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用什么平面的性质和定理来解决对应的立体图形问题.2.求立体图形中两条(或多条)线段长度和的最小值,只需将这些线段统一到一个平面上.要注意立体图形展开前后对应线段与角度哪些会改变,哪些不会变.\n变式训练如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P,则AP+D1P的最小值为()D将△A1AB与△A1BD1放在同一平面内,如图所示.连接AD1,则AD1为AP+D1P的最小值.因为AA1=A1D1=1,∠AA1D1=90°+45°=135°,
