1.3命题及其关系、充要条件\n-2-知识梳理双基自测23411.命题真假\n-3-知识梳理双基自测23412.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题(或).②互逆或互否的两个命题.等价同真同假不等价\n-4-知识梳理双基自测23413.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要\n-5-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0或2或4.(2)p是q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件.其他情况依此类推.(3)集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件⇔A⫋B;p是q的必要不充分条件⇔A⫌B;p是q的充要条件⇔A=B.\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(2)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是“若1≤x≤2,则x2-3x+2≤0”.()(3)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.()(4)若q是p的必要条件,则p是q的充分条件.()(5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()×√×√×\n-7-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭若a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0.∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A.答案解析关闭A2.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件\n-8-知识梳理双基自测234153.已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案解析解析关闭原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B.答案解析关闭B\n-9-知识梳理双基自测234154.设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭若A∩B=A,则有A⊆B;若A⊆B,则必有A∩B=A.所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.答案解析关闭C\n-10-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P10T3(2))“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的条件.答案解析解析关闭x=a⇒(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立.因此,“(x-a)·(x-b)=0”是“x=a”的必要不充分条件.答案解析关闭必要不充分\n-11-知识梳理双基自测23415自测点评1.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论;命题的否定只否定结论.2.因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,所以当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.\n-12-考点1考点2考点3例1(1)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是()A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-考点1考点2考点3解题心得1.在判断四种命题的关系时,要分清命题的条件与结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题;当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出反例.当一个命题的真假直接判断不易时,可转化为判断其等价命题的真假.\n-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a+b+c≥3,则a+b+c=3(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中真命题是.(只填序号)答案解析解析关闭(1)否命题是指条件和结论都否.“≥”的否定是“<”.(2)①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.答案解析关闭(1)A(2)①③\n-15-考点1考点2考点3A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思考充分条件、必要条件的判断有哪几种方法?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-16-考点1考点2考点3解题心得充分条件、必要条件的三种判断方法:(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.\n-17-考点1考点2考点3对点训练2给定两个命题p,q,若p是q的必要而不充分条件,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3思考如何求与充分条件、必要条件有关的参数问题?如何证明一个论断是另一个论断的充分条件、必要条件?(2)设条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.D\n-19-考点1考点2考点3\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3解题心得1.与充分条件、必要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.3.充分条件、必要条件的证明方法:在解答题中证明一个论断是另一个论断的充分条件、必要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.\n-22-考点1考点2考点3对点训练3已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为.[0,3]解析:由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10}.由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].\n-23-考点1考点2考点31.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真同假的关系来判定.2.充要关系的几种判断方法:(1)定义法,直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(2)等价法,利用A⇒B与B⇒A;B⇒A与A⇒B;A⇔B与B⇔A的等价关系.若条件或结论是否定形式的命题,则一般运用等价法.(3)集合法,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},利用集合A,B的关系来判断.\n-24-考点1考点2考点31.当一个命题有大前提时,要写出其他三种命题,必须保留大前提,也就是大前提不动.2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.\n-25-思想方法——等价转化思想在充要条件中的应用等价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内可解”的求解策略,本节内容蕴含着丰富的等价转化思想,对于一个难以入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一个解题思路.因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前提,同时也是灵活解题的基础.\n-26-要不充分条件,求实数m的取值范围.分析：先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q之间的关系列出关于m的不等式或不等式组得出结论.解：(方法一)由q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,\n-27-所以p是q的充分不必要条件.由q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,则q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.\n-28-则p:P={x|-2≤x≤10}.因为p是q的充分不必要条件,则P⫋Q,即m≥9或m>9.故m≥9.反思提升本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及参数的取值范围的充要条件问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是解此类问题的关键.
