第一章 集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件课时规范练A组——基础对点练1．命题“若a＞b，则a－8≤b－8”的否命题是( )A．若a＜b，则a－8＜b－8B．若a－8＞b－8，则a＞bC．若a≤b，则a－8＞b－8D．若a≤b，则a－8≤b－8答案：C2．设a＞b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )A．ac2＞bc2 B.＞1C．a－c＞b－cD．a2＞b2解析：对于选项A，a＞b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a＞b，若a＞0，b＜0，则＜1，故B错；对于选项C，a＞b，则a－c＞b－c，故C正确；对于选项D，a＞b，若a，b均小于0，则a2＜b2，故D错，综上，真命题为C.答案：C3．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵当a≠0时，＝＝⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.答案：D4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D\n5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B6．已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D7．“x≥1”是“x＋≥2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得x＋≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要条件，故选A.答案：A8．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C.答案：C9．命题“若x>1，则x>0”的否命题是__________．答案：若x≤1，则x≤010．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的__________条件．解析：由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sinA≤sinB.答案：充要B组——素养提升练11．若x，y∈R，则x>y的一个充分不必要条件是( )\nA．|x|>|y|B．x2>y2C.>D．x3>y3解析：由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.答案：C12．“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20.故选A.答案：A13．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵cos2α＝cos2α－sin2α，∴当sinα＝cosα时，cos2α＝0，充分性成立；当cos2α＝0时，∵cos2α－sin2α＝0，∴cosα＝sinα或cosα＝－sinα，必要性不成立，故选A.答案：A14．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A．a≥4B．a＞4C．a≥1D．a＞1解析：要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B15．能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为________．解析：只要保证a为正b为负即可满足要求．当a＞0＞b时，＞0＞.答案：1，－1(答案不唯一)16．如果“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为__________．解析：由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－1
