2.5对数与对数函数\n-2-知识梳理双基自测234151.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围:.指数对数幂真数底数a>0,且a≠1\n-3-知识梳理双基自测23415logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么\n-4-知识梳理双基自测23415NNlogad\n-5-知识梳理双基自测234153.对数函数的图象与性质\n-6-知识梳理双基自测23415(0,+∞)(1,0)增函数减函数\n-7-知识梳理双基自测234154.由对数函数的图象看底数的大小关系如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b,即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.\n-8-知识梳理双基自测234155.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线对称.y=logaxy=x\n2-9-知识梳理双基自测3415××××√\n-10-知识梳理双基自测23415A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测234153.函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是()答案解析解析关闭当a>1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0<a<1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求.答案解析关闭A\n-12-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭5.(教材习题改编P75T2)若loga>1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是.\n-14-知识梳理双基自测23415自测点评1.应用对数的运算性质及换底公式时,一要熟记公式及公式成立的条件,防止混用、错用,二要会公式的正用、逆用和变形用.2.对数值的大小比较的常用方法:(1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间值(0或1).(4)化同真数后利用图象比较.3.判断对数函数的单调性、求对数函数的最值、求对数不等式中的参数范围,都与底数a有关,解题时要注意按0<a<1和a>1分类讨论,否则易出错.\n-15-考点1考点2考点3\n-16-考点1考点2考点3解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.\n-17-考点1考点2考点3(2)lg25+lg2·lg50+(lg2)2=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3思考应用对数型函数的图象主要能解决哪些问题?CB\n-19-考点1考点2考点3\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.\n-22-考点1考点2考点3D\n-23-考点1考点2考点3解析:(1)因为对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),所以f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数.作函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下.\n-24-考点1考点2考点3\n-25-考点1考点2考点3考向一比较含对数的函数值的大小b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b思考如何比较两个含对数的函数值的大小?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-26-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭\n-27-考点1考点2考点3考向三对数型函数的综合问题例5已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.思考在判断对数型复合函数的单调性时需要注意哪些条件?\n-28-考点1考点2考点3解(1)由ax-1>0,得ax>1.当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.故当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,设0<x1<x2,所以f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.类似地,当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,0)上也是增函数.\n-29-考点1考点2考点3解题心得1.比较对数式的大小:(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.2.解简单对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意底数a的分类讨论.3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对增减性的影响,以及真数必须为正的限制条件.\n-30-考点1考点2考点3(2)已知f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)(3)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.①求f(x)的定义域;②判断f(x)的奇偶性,并予以证明;③当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.对点训练3(1)(2020全国Ⅲ,文10)设a=log32,b=log53,c=,则()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<bAA\n-31-考点1考点2考点3\n-32-考点1考点2考点3(3)解:①因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}.②f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x).故f(x)为奇函数.③因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数,所以x的取值范围是(0,1).\n-33-考点1考点2考点31.多个对数函数比较底数的大小,可通过他们的图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.2.研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0<a<1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.3.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.\n-34-考点1考点2考点31.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意M>0的条件,当n∈N*,且n为偶数时,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|.2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)定义域优先的原则.(2)要有分类讨论的意识.
