2.9函数模型及其应用\n-2-知识梳理双基自测211.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);\n-3-知识梳理双基自测212.指数、对数、幂函数模型的性质比较递增递增y轴x轴\n2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)幂函数增长比一次函数增长更快.()(2)在区间(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.()(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.()(4)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).()(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.()×√√√√\n-5-知识梳理双基自测234152.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-6-知识梳理双基自测234153.(教材例题改编P123例1)某工厂生产一种产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=0.1x2+10x+300(0<x≤240,x∈N).若每台产品的售价为25万元,生产的产品全部卖出,则该工厂获得最大利润(利润=销售收入-产品成本)时的产量是()A.70台B.75台C.80台D.85台答案解析解析关闭根据题意知销售收入是25x,故利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=-0.1x2+15x-300,因此当x=75时,wmax=-0.1×752+15×75-300=262.5(万元).答案解析关闭B\n-7-知识梳理双基自测234154.(教材例题改编P123例2)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表.则x,y最适合的函数模型是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案解析解析关闭根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除选项A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除选项B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D答案解析关闭D\n-8-知识梳理双基自测234155.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为6,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是.答案解析解析关闭依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密为y=2x-2.因此,当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.答案解析关闭4\n-9-知识梳理双基自测23415自测点评1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.\n-10-考点1考点2考点3考点4思考生活中常见的哪些问题涉及的两个变量之间的关系是二次函数关系?例1经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间\n-11-考点1考点2考点3考点4解:由题意知S(t)=g(t)f(t),解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间的关系是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.\n-12-考点1考点2考点3考点4对点训练1某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).\n-13-考点1考点2考点3考点4(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入到A,B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?\n-14-考点1考点2考点3考点4\n-15-考点1考点2考点3考点4所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.\n-16-考点1考点2考点3考点4例2国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,则飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,飞机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出每张飞机票的价格关于每团人数的函数解析式;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?思考分段函数模型适合哪些问题?\n-17-考点1考点2考点3考点4解:(1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),每张飞机票价格为y元,(2)设旅行社获利S元,\n-18-考点1考点2考点3考点4因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大值12000.又S=-10(x-60)2+21000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.\n-19-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.\n-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.\n-21-考点1考点2考点3考点4\n-22-考点1考点2考点3考点4例3某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?\n-23-考点1考点2考点3考点4即当矩形温室的边长各为40m,20m时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是648m2.\n-24-考点1考点2考点3考点4解题心得1.利用模型f(x)=ax+求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.如果等号不能取得,一般利用函数单调性求解最值.\n-25-考点1考点2考点3考点4对点训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.\n-26-考点1考点2考点3考点4所以当隔热层厚度为5cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元.\n-27-考点1考点2考点3考点4例4某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)思考哪些实际问题适合用指数函数模型解决?\n-28-考点1考点2考点3考点4解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×(1+1.2%)x.\n-29-考点1考点2考点3考点4(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).所以10年后该城市人口总数约为112.7万.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,即大约15年后该城市人口总数将达到120万人.\n-30-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.\n-31-考点1考点2考点3考点4中I为声强(单位:W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?\n-32-考点1考点2考点3考点4∵50+10lg5>50,∴这两位同学会影响其他同学休息.\n-33-考点1考点2考点3考点41.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:\n-34-考点1考点2考点3考点42.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.2.解应用题建模后一定要注意定义域.3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.
