2-8 函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(文)(2011·湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )[答案] C[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C.(理)若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值( )A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定[答案] D[解析] 若函数f(x)在(－2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f(－2)·f(2)<0，故由条件不能确定f(－2)·f(2)的值的符号．2．(文)(2012·天津理)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．[点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数．(理)已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．至少1个[答案] D17\n[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，a>1时，如图(1)，0<a<1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．3．(文)(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f(x)＝x3－4x2－x＋4不存在零点的区间是( )A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4][答案] C[解析] ∵f(0)＝4，f(1)＝0，f(3)＝－8<0，f(4)＝0，f(2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评] 注意，不能由f(2)＝－6<0，f(3)＝－8<0，做出判断f(x)在区间[2,3]内无零点．(理)设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为( )A. B. C. D.[答案] C[解析] 因为f(x)＝x3＋ax－b，所以f′(x)＝3x2＋a.因为a∈{1,2,3,4}，因此f′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则，解得a＋1≤b≤8＋2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8.a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根据古典概型可得有零点的概率为.17\n4．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0[答案] B[解析] ∵f(0)·f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一个零点，又∵f(x)在[0，a]上是单调函数，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点．又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一个零点，故f(x)在[－a，a]内有两个零点，即方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2个．故选B.5．某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A—B为2000元；A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D的机票价格为( )(注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)A．1000元B．1200元C．1400元D．1500元[答案] D[解析] 注意观察各地价格可以发现：A、C、D三点共线，A、C、B构成以C为顶点的直角三角形，如图可知BD＝5×300＝1500.[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．6．(文)(2012·龙岩质检)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝()x在[0，]上根的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] C[解析] 由题意知f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，画出f(x)的图象，结合y＝()x的图象可知，方程f(x)＝()x在x∈[0，]时有3个根．[点评] 要注意在x∈(3，]时方程无解．17\n(理)(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f(x)＝若方程f(x)－m＝0有且仅有两个实数根，则实数m的取值范围是( )A．－1<m≤1B．－1<m<0或m＝1C．－1<m≤0或m＝1D．－1<m≤1[答案] C[解析] ∵f(x)＝∴当x≤0时，f(x)＝单调递增，且0<f(x)≤1，又x>0时，f(x)＝x3－3x＋1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x≥1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－1，∴当m＝1时，直线y＝m与函数f(x)的图象有两个交点，当－1<m≤0时，直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有两个交点，故选C.7．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．[答案] 2[解析] 由已知可知，在(0，＋∞)上存在惟一x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x′0∈(－2，－1)，使f(x′0)＝0，且x′0＝－x0.故函数的图象与x轴有2个交点．8．有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m2[解析] 设所围场地的长为x，则宽为，其中0<x<200，场地的面积为x×≤2＝2500m2，等号当且仅当x＝100时成立．9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d(km)(d<200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n17\n(km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n的值为________.作物项目水果蔬菜稻米甘蔗市场价格(元/kg)8321生产成本(元/kg)3210.4运输成本(元/kg·km)0.060.020.010.01单位面积相对产量(kg)10154030[答案] 50[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1＝50－0.6d，y2＝15－0.3d，y3＝40－0.4d，y4＝18－0.3d，由⇒50≤d<200，故n＝50.10．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝＋6x＋594≥2＋594＝714.当且仅当＝6x，即x＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．17\n(理)当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，由题意可知，W＝×2.8＝(t≥0且t∈N)，×3≤P≤×3 (t≥0且t∈N)，即37.5t≤P≤40t.又>40t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱．(2)①令37.5t＋5000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N，∴t＝546.②令40t＋5000＝，解得t＝750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)函数f(x)在[－2,2]内的图象如图所示，若函数f(x)的导函数f′(x)的图象也是连续不间断的，则导函数f′(x)在(－2,2)内有零点( )17\nA．0个B．1个C．2个D．至少3个[答案] D[解析] f′(x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(－2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故f(x)在(－2，2)内有三个零点，故选D.(理)(2012·河南六市模拟)若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A．9 B．8 C．7 D．6[答案] B[解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．17\n12．(文)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案] B[解析] 令g(x)＝x3－22－x，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，g(3)>0，g(4)>0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)．(理)已知函数f(x)＝把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A．an＝(n∈N*)B．an＝n(n－1)(n∈N*)C．an＝n－1(n∈N*)D．an＝2n－2(n∈N*)[答案] C[解析] 当x≤0时，f(x)＝2x－1；当0<x≤1时，f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－1－1＋1＝2x－1；当1<x≤2时，f(x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝2x－2－1＋2＝2x－2＋1；…∴当x≤0时，g(x)的零点为x＝0；当0<x≤1时，g(x)的零点为x＝1；当1<x≤2时，g(x)的零点为x＝2；…当n－1<x≤n(n∈N*)时，g(x)的零点为n，故a1＝0，a2＝1，a3＝2，…，an＝n－1.13．(2012·山西四校联考)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x)＝17\nf(x＋4)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为________．[答案] (，2)[解析] 依题意得，f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)(a>1)的图象恰有三个不同的交点．结合题意分别画出函数f(x)在(－2,6]上的图象与函数g(x)＝loga(x＋2)(a>1)的图象(如图所示)，结合图象分析可知，要使两函数的图象有三个不同的交点，则有由此解得<a<2，即a的取值范围是(，2)．14．已知点(2,4)在幂函数f(x)的图象上，点(，4)在幂函数g(x)的图象上．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解析] (1)设f(x)＝xα，∵点(2,4)在f(x)的图象上，∴4＝2α，∴α＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，∵点(，4)在g(x)的图象上，∴4＝()β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2.(2)∵f(x)－g(x)＝x2－x－2＝x2－＝(*)∴当－1<x<1且x≠0时，(*)式小于零，即f(x)<g(x)；当x＝±1时，(*)式等于零，即f(x)＝g(x)；17\n当x>1或x<－1时，(*)式大于零，即f(x)>g(x)．因此，①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1时且x≠0时，f(x)<g(x)．15．(2012·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．[分析] 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．[解析] ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ>0时，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.16．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量q(t)满足函数关系：x＝2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)．(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量q(t)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)在乙方年产量为q(t)时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002q2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？[解析] (1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为：w＝2000－sq(q≥0)因为w＝2000－sq＝－s(－)2＋，所以当q＝2时，w取得最大值．所以乙方取得最大利润的年产量q＝2t17\n(2)设甲方净收入为v元，则v＝sq－0.002q2，将q＝2代入上式，得到甲方纯收入v与赔付价格s之间的函数关系式：v＝－，又v′＝－＋＝，令v′＝0得s＝20.当s<20时，v′>0；当s>20时，v′<0.所以s＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格s＝20(元/t)时，获最大纯收入．1.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( )A．15 B．16 C．17 D．18[答案] B[解析] 由题意知：应从A中调出10件，从B中调出5件，C调入4件，D调入11件，以就近原则，先从A调10件给D，B调4件给C，则已经调14次，B需调出1件给D，应通过A或C，都需2次调动，∴共需14＋2＝16次．2．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )17\nA．f(x)＝tanxB．f(x)＝＋C．f(x)＝xD．f(x)＝lgsinx[答案] C[解析] 根据程序框图知，输出的函数f(x)为偶函数，且此函数存在零点．f(x)＝tanx为奇函数；f(x)＝＋不存在零点(若＋＝0，则＝－，∴2x－1＝－2，∴2x＝－1与2x>0矛盾)；f(x)＝lgsinx不具有奇偶性(∵x＝时，f()＝0，x＝－时，f(x)无意义)；f(x)＝x是偶函数，且f(0)＝0，故选C.3．(2012·湖南文)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0<f(x)<1；当x∈(0，π)且x≠时，(x－)f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )A．2 B．4 C．5 D．8[答案] B[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等．由x∈(0，π)，x≠时，(x－)f′(x)>0知，17\n当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．当x∈(，π)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x∈(－π，0)时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y＝f(x)示意图如下：而y＝f(x)－sinx的零点个数，即f(x)＝sinx的根，即y＝sinx与y＝f(x)图象交点个数．由图象知有4个交点．4．(2012·昆明一中检测)已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )A．[4，＋∞)B．(4，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a<b，∵f(x)＝|lg(x－1)|，f(a)＝f(b)，∴1<a≤2，b>2，∴f(a)＝－lg(a－1)，f(b)＝lg(b－1)，∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，∴(a－1)(b－1)＝1，∴a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2>2＋2＝4.解法2：结合f(x)的图象得－lg(b－1)＝lg(a－1)，得lg(a－1)＋lg(b－1)＝0，所以(a－1)(b－1)＝1，化简得，a＋b＝ab，即＋＝1，所以a＋b＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当a＝b时取“＝”，而由已知a≠b，故选B.17\n5．(2012·北京市东城区综合练习)函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝＋f(x)为( )A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[答案] B[解析] ∵g(x)－1≠0⇒g(x)≠1⇒x≠0，∴y＝F(x)的定义域关于坐标原点对称．F(x)＝f(x)[＋1]＝f(x)·，F(－x)＝f(－x)·＝－f(x)·＝－f(x)·＝f(x)·＝F(x)，∴y＝F(x)是偶函数．又由于y＝f(x)和y＝g(x)都不是常数函数，∴f(x)不恒为0，g(x)不恒为－1，即F(x)不恒为0，所以F(x)不是奇函数，故选B.6．定义域为D的函数f(x)同时满足条件：①常数a、b满足a<b，区间[a，b]⊆D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb](k∈N*)，那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩形”函数．函数f(x)＝x3是[a，b]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a，b)共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对[答案] C[分析] 由“k级矩形”函数的定义可知，f(x)＝x3的定义区间为[a，b]时，值域为[a，b]，可考虑应用f(x)的单调性解决．17\n[解析] ∵f(x)＝x3在[a，b]上单调递增，∴f(x)的值域为[a3，b3]．又∵f(x)＝x3在[a，b]上为“1级矩形”函数，∴解得或或故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．7．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )[答案] C[解析] A、B、D的面积都是随着t的增大而增长的速度越来越快，到t＝时，增长的速度又减慢，而C图则从t＝开始匀速增大与f(t)不符．8．函数f(x)＝的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C17\n[解析] 令x2＋2x－3＝0得，x＝－3或1∵x≤0，∴x＝－3，令－2＋lnx＝0得，lnx＝2∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．9．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.①有三个实根②当x<－1时，恰有一实根③当－1<x<0时，恰有一实根④当0<x<1时，恰有一实根⑤当x>1时，恰有一实根正确的有________．[答案] ①②[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f(0)＝0.01>0，结合图象知f(x)＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确．又∵f(0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f(1)>0.所以f(x)＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f(x)＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f(1)>0结合图象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．10．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为107，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．17\n[解析] 设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P(x)＝，制作200把椅子所需时间为Q(x)＝＝，完成全部任务所需的时间为P(x)与Q(x)的最大值F(x)．为求得F(x)的最小值，需满足P(x)＝Q(x)，即＝，解得x＝12.5，考虑到x表示人数，所以x∈N*.∵P(12)>P(13)，Q(12)<Q(13)，故考查P(12)与Q(13)．P(12)＝≈1.19，Q(13)＝≈1.18.即F(12)>F(13)．所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．17
