4.7解三角形\n-2-知识梳理双基自测23411.正弦定理和余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则\n-3-知识梳理双基自测2341\n-4-知识梳理双基自测23412.三角形中的常见结论(1)在△ABC中,A+B+C=π.(2)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.\n-5-知识梳理双基自测2341\n-6-知识梳理双基自测23414.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的角叫做仰角,目标视线在水平视线的角叫做俯角(如图①).上方下方\n-7-知识梳理双基自测2341(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.(3)方位角:指从正北方向转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.顺时针\n2-8-知识梳理双基自测341561.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.()(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.()(5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.()√√×√×\n-9-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭6\n-10-知识梳理双基自测2341563.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测2341564.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P10T2)在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形状为.6答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测234156答案解析解析关闭答案解析关闭6.一船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km.\n-14-知识梳理双基自测234156自测点评1.在一个三角形中,边和角共有6个量,已知3个量(其中至少有一边)就可解三角形.2.判断三角形形状的两种思路:一是化边为角;二是化角为边,并用正弦定理(或余弦定理)实施边、角转换.\n-15-考点1考点2考点3考点4例1在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A=(1)求a的值;(2)若角A为锐角,求b的值及△ABC的面积.思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?\n-16-考点1考点2考点3考点4\n-17-考点1考点2考点3考点42.已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再求出角B,C.3.已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.\n-18-考点1考点2考点3考点4(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cosA(ccosB+bcosC)=a.①求A;C\n-19-考点1考点2考点3考点4(1)解析:由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC\n-20-考点1考点2考点3考点4(2)解:①由正弦定理可知,2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA,即2cosAsinA=sinA.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,\n-21-考点1考点2考点3考点4例2在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?\n-22-考点1考点2考点3考点4\n-23-考点1考点2考点3考点4即sin(B+30°)=1.∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°.∴B+30°=90°,即B=60°.∴A=B=C=60°,∴△ABC为等边三角形.\n-24-考点1考点2考点3考点4解题心得要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.主要有以下两条途径:(1)“角化边”:把已知条件(一般是边的一次式,角的正弦、余弦)转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得到边的对应关系,从而判断三角形形状.(2)“边化角”:把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形形状,此时要注意A+B+C=π这个结论.注意:(1)在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,以免漏解.(2)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.\n-25-考点1考点2考点3考点4对点训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.\n-26-考点1考点2考点3考点4(2)由题意得sinC+sin(B-A)=sin2A,sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,即sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosA,所以有sinBcosA=sinAcosA,当cosA=0时,A=,△ABC为直角三角形;当cosA≠0时,sinB=sinA,由正弦定理得a=b,△ABC为等腰三角形.\n-27-考点1考点2考点3考点4例3已知函数f(x)=4sinxcosx+sin2x-3cos2x+1.(1)求函数f(x)的对称中心及最小正周期;思考在三角形中进行三角变换要注意什么?\n-28-考点1考点2考点3考点4\n-29-考点1考点2考点3考点4∵acosB+bsinB=c,∴sinAcosB+sin2B=sinC.又∵A+B+C=π,∴sinAcosB+sin2B=sin(A+B),即sinAcosB+sin2B=sinAcosB+cosAsinB,得sin2B=cosAsinB.∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴sinB=cosA.\n-30-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.2.在解三角形问题中,因为面积公式中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供了条件.\n-31-考点1考点2考点3考点4(1)求角A的大小;\n-32-考点1考点2考点3考点4\n-33-考点1考点2考点3考点4例4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=m.思考利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么?\n-34-考点1考点2考点3考点4\n-35-考点1考点2考点3考点4解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.\n-36-考点1考点2考点3考点4对点训练4如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.150\n-37-考点1考点2考点3考点4解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,\n-38-考点1考点2考点3考点41.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.\n-39-考点1考点2考点3考点41.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
