11.3几何概型\n-2-知识梳理双基自测211.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.长度\n-3-知识梳理双基自测212.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法的基本步骤:①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率fn(A)=作为所求概率的近似值.\n2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.()(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()√√××√\n-5-知识梳理双基自测234152.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-6-知识梳理双基自测234153.如图,正方形内的曲线C是以1为直径的半圆,从区间[0,1]上取1600个随机数x1,x2,…,x800,y1,y2,…,y800,已知800个点(x1,y1),(x2,y2),…,(x800,y800)落在阴影部分的个数为m,则m的估计值为()A.157B.314C.486D.628答案解析解析关闭答案解析关闭\n-7-知识梳理双基自测234154.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234155.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行,当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行,则这只蚊子安全飞行的概率是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测23415自测点评1.“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的.2.在几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关.3.因为随机模拟得到的是某一次的频率,所以相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值可能相等也可能不相等.\n-10-考点1考点2考点3考点4例1(1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()解析:(1)这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为,故选B.B\n-11-考点1考点2考点3考点4(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.思考如何确定几何概型的概率是用长度或角度的比来求?\n-12-考点1考点2考点3考点4解析:(2)因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,区域h为∠CAB,解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算.\n-13-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)在区间[-1,1]上随机取一个数x,使cosπx≥的概率为()(2)如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-考点1考点2考点3考点4例2(1)从区间(0,1)中任取两个数,作为直角三角形两直角边的长,则所取得的两个数使得斜边长不大于1的概率是()思考求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-15-考点1考点2考点3考点4(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一动点在长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为.思考求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路是什么?解析:设事件M为“动点在三棱锥A-A1BD内”,\n-16-考点1考点2考点3考点4解题心得求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路:用图形准确地表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为所求事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,\n-17-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()(2)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少晚5分钟到校的概率为.(用数字作答)B\n-18-考点1考点2考点3考点4\n-19-考点1考点2考点3考点4(2)用x轴表示小张到校时刻,用y轴表示小王到校时刻,建立如图所示的平面直角坐标系.设小张到校的时刻为x,小王到校的时刻为y,则x-y≥5.由题意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少晚5分钟到校.\n-20-考点1考点2考点3考点4例3(1)已知a,b∈(0,1),则函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)内是增函数的概率为()思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型有关的问题?A\n-21-考点1考点2考点3考点4解析:(1)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内是增函数,且a>0,所以由二次函数的单调性可得,\n-22-考点1考点2考点3考点4\n-23-考点1考点2考点3考点4解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积来解决.\n-24-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()(2)任取k∈[-1,1],直线l:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,则|MN|≥2的概率为()CA\n-25-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由|z|≤1,得(x-1)2+y2≤1.不等式表示以C(1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y≥x表示直线y=x左上方部分(如图所示).\n-26-考点1考点2考点3考点4(2)由题意可知圆C的圆心(2,3),半径r=2.\n-27-考点1考点2考点3考点4例4从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-28-考点1考点2考点3考点4解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与矩形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.\n-29-考点1考点2考点3考点4对点训练4如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300粒黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96粒,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32答案解析解析关闭答案解析关闭\n-30-考点1考点2考点3考点41.两种常见几何概型的解决方法:(1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时,一般是把这个变量看成一条线段或角,即可借助于线段(或角度)的度量比来求解.(2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.2.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关.\n-31-考点1考点2考点3考点43.转化思想的应用:很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化成几何概型,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这种转化策略是解决几何概型试题的关键.如建立平面直角坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式计算等.解决几何概型问题时,有两点容易造成失分:一是不能正确判断事件是古典概型还是几何概型;二是利用几何概型的概率公式时,忽视基本事件是否等可能.
