选修4系列\n选修4—4坐标系与参数方程\n-3-知识梳理双基自测234165\n-4-知识梳理双基自测2341652.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫做极点,自极点O引一条Ox,叫做极轴;再选定一个单位,一个单位(通常取)及其正方向(通常取_________方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记为.定点射线长度角度弧度逆时针距离|OM|ρxOMθ(ρ,θ)M(ρ,θ)\n-5-知识梳理双基自测2341653.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).\n-6-知识梳理双基自测2341654.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则直线的方程为:ρsin(θ-α)=.(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点:θ=θ0和;②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:;ρ0sin(θ0-α)θ=π+θ0ρcosθ=aρsinθ=b\n-7-知识梳理双基自测2341655.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①圆心位于极点,半径为r:ρ=;②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=;ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+-r2=0r2acosθ2asinθ\n-8-知识梳理双基自测234165参数方程参数y0+tsinα\n-9-知识梳理双基自测234165a+rcosθb+rsinθacosθbsinθ2pt22pt\n2-10-知识梳理双基自测3415××√√×\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测234153.在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-15-知识梳理双基自测23415自测点评1.在极坐标系下,点的极坐标不是唯一的,极坐标(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ)等表示同一点的坐标.因此曲线上点的极坐标不一定适合曲线的极坐标方程.2.判断曲线的极坐标方程或曲线的参数方程表示什么曲线时,一般先化为直角坐标方程或普通方程再判断.3.在极坐标系中判断两曲线的位置关系,或者求两曲线的交点,都是把曲线方程化为直角坐标方程或普通方程后再进行判断或求解.\n-16-考点1考点2考点3考点4考点5考向一直角坐标方程化为极坐标方程例1在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?\n-17-考点1考点2考点3考点4考点5\n-18-考点1考点2考点3考点4考点5考向二极坐标方程化为直角坐标方程例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?\n-19-考点1考点2考点3考点4考点5\n-20-考点1考点2考点3考点4考点5\n-21-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.\n对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.①求圆C1的极坐标方程;②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.-22-考点1考点2考点3考点4考点5(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.①求圆O和直线l的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.\n-23-考点1考点2考点3考点4考点5\n-24-考点1考点2考点3考点4考点5\n-25-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?\n-26-考点1考点2考点3考点4考点5\n-27-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角θ有关的参数方程,经常用到公式sin2θ+cos2θ=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.2.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.\n-28-考点1考点2考点3考点4考点5(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.\n-29-考点1考点2考点3考点4考点5(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,\n-30-考点1考点2考点3考点4考点5例4在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离?\n-31-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积\n-32-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离.2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ)的距离|AB|=|ρ2-ρ1|.\n-33-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若射线OM:θ=α0(ρ≥0)平分曲线C2,且与曲线C1交于点A,曲线C1上的点B满足∠AOB=,求|AB|.\n-34-考点1考点2考点3考点4考点5\n-35-考点1考点2考点3考点4考点5(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?\n-36-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.\n-37-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|.\n-38-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练4已知直线l在平面直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.\n-39-考点1考点2考点3考点4考点5\n-40-考点1考点2考点3考点4考点5\n-41-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.思考求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是什么?\n-42-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);\n-43-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.\n-44-考点1考点2考点3考点4考点5(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.\n-45-考点1考点2考点3考点4考点5\n-46-考点1考点2考点3考点4考点51.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘ρ等.2.要判断极坐标系中曲线的形状,可以先将方程化为直角坐标方程再进行判断.3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ=等.\n-47-考点1考点2考点3考点4考点51.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定ρ≥0,0≤θ<2π来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
