12-2坐标系与参数方程基础巩固强化1.(文)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A．两个圆 B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线[答案] C[解析] 原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线．(理)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )A．直线、直线 B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线[答案] D[解析] 由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．2．(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线(t为参数)被圆ρ＝3截得的弦长为( )、A.B.C.D.[答案] B[解析] 圆的直角坐标方程为x2＋y2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x－2y＋3＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d＝.所以弦长为2＝.(理)(2011·上海奉贤区摸底)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|＝( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] D[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x2＋y2＝16变换为椭圆方程x′2＋＝1，此伸缩变换公式是( )A.B.C.D.[答案] B11\n[解析] 设此伸缩变换为代入x′2＋＝1，得(λx)2＋＝1，即16λ2x2＋μ2y2＝16，与x2＋y2＝16比较得故故所求变换为故选B.4．(2011·湖南十二校联考)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°[答案] D[解析] 由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝－＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.5．(文)(2011·北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1[答案] C[解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.(理)在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线的方程是( )A．ρcosθ＝B．ρsinθ＝C．ρ＝cosθD．ρ＝sinθ[答案] B[解析] 设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sin，∴ρsinθ＝，故选B.11\n6．(2012·淮南市二模)已知曲线C：(θ为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝( )A.B．－C．0D．±[答案] D[解析] 将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到＝1，解得b＝±.7．(2011·西安质检)若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝______.[答案] －1[解析] l1：(t为参数)化为普通方程为y－2＝－(x－1)，l2：(s为参数)化为普通方程为y－1＝－2x，∵l1⊥l2，∴－·(－2)＝－1，k＝－1.8．(2012·湖南理，9)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.[答案] [解析] 本题考查参数方程与普通方程互化．由题意知，曲线C1：y＝－2x＋3，C2：＋＝1，又知有一个公共点在x轴上，∴(a,0)在直线y＝－2x＋3上，得a＝.9．(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中，点P(1，)到直线l：ρcos(θ＋)＝上的点的最短距离为________．11\n[答案] 2[解析] 注意到点P(1，)的直角坐标是(0,1)，直线l：ρcos(θ＋)＝的直角坐标方程是x－y－3＝0，因此点P(1，)到直线l上的点的最短距离，即点P到直线l的距离，等于＝2.(理)(2012·江西重点中学联考)在极坐标系中，圆ρ＝4cosθ的圆心C到直线ρsin(θ＋)＝2的距离为________．[答案] [解析] 注意到圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，圆心C的坐标是(2,0)．直线ρsin(θ＋)＝2的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于＝.10．(文)(2012·河南六市联考)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为(t为参数)．(1)将C1化为直角坐标方程；(2)曲线C1与C2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由．[解析] (1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，所以C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(2)C2的直角坐标方程为3x－4y－1＝0，C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心C1(2,0)到直线C2的距离d＝＝1<2.所以C1与C2相交．相交弦长|AB|＝2＝2.(理)(2012·河北保定市模拟)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：ρ＝1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)(1)当α＝时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．[解析] (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，11\nC2的普通方程为x2＋y2＝1.法1：联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)，所以截得的弦长为＝1.法2：原点O到直线C1的距离为＝，又圆C2的半径为1，所以截得的弦长为2＝2×＝1.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，A点轨迹的参数方程为(α为参数)．所以A点轨迹的普通方程为x2＋y2－x＝0.能力拓展提升11.(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．[答案] [解析] (0≤θ≤π) 化为普通方程为＋y2＝1(0≤y≤1)，而化为普通方程为x＝y2，由得即交点坐标为.12．(文)极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．[答案] 1[解析] ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.(理)(2011·深圳调研)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．11\n[答案] －1[解析] 直线l方程化为x＋y－4＝0，⊙C方程化为x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1.圆心C(2,0)到直线l的距离d＝＝，∴|PQ|min＝－1.13．(2011·安徽皖南八校联考)已知直线l的参数方程是(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋4sinθ，则直线l被圆C所截得的弦长等于________．[答案] 4[解析] 依题意得，直线l的普通方程是y＝(x－1)，即x－y－＝0；圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝2x＋4y，即(x－1)2＋(y－2)2＝5.圆心C(1,2)到直线l的距离d＝＝1，因此直线l被圆C所截得的弦长等于2＝4.[点评] ∵()2＋()2＝1，∴可只将⊙C方程化为普通方程x2＋y2－2x－4y＝0，将代入得t2－2t－1＝0，∴t1＋t2＝2，t1t2＝－1，∴|t1－t2|＝＝4，∴直线l被⊙C所截弦长为4.14．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案] (θ≠kπ＋)[解析] ∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c＝3，又直线化为y＝2x，它是双曲线的渐近线，∴＝2，∴a2＝1，b2＝8，∴a＝1，b＝2，∴双曲线的参数方程为(θ≠kπ＋)．15．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝.(1)写出直线l的参数方程；11\n(2)设l与圆ρ＝2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．[解析] (1)直线的参数方程是(t是参数)(2)因为点A、B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，圆ρ＝2化为直角坐标系的方程x2＋y2＝4.将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(＋1)t－2＝0①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2，∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.16．(文)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解析] (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为(α为参数)，消去参数得P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝，故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．(理)(2012·昆明一中测试)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为(4，)，点Q为线段PM的中点．(1)求点Q的轨迹C1的方程；(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由．[解析] (1)由⊙C的极坐标方程ρ＝2sinθ得，ρ2＝2ρsinθ，∴⊙C的直角坐标方程为：x2＋y2－2y＝0.(或x2＋(y－1)2＝1)11\n∵点M的极坐标为(4，)，则直角坐标为(0,4)．设点P(x0，y0)，点Q(x，y)，则有x＋(y0－1)2＝1. ①∵点Q为线段PM的中点，则代入①得：轨迹C1的方程：x2＋2＝(或x2＋y2－5y＋6＝0)．(2)∵⊙C的直角坐标方程为：x2＋(y－1)2＝1.轨迹C1是圆心为(0，)，半径为的圆．则两圆圆心距为，等于两圆半径和，所以两圆外切．1．(2011·衡阳市联考)在极坐标系中，曲线ρcosθ＋ρsinθ＝2(0≤θ<2π)与θ＝的交点的极坐标为( )A．(1,1)B．(1，)C．(，)D．(－，)[答案] C[解析] 将θ＝代入到ρcosθ＋ρsinθ＝2中得交点(，)．11\n[点评] 本题也可以先化为直角坐标方程求解，但求出交点后还需要再化为极坐标，不如直接求解简便．2．(2011·湖南文，9)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．[答案] 2[解析] 曲线C1的参数方程可化为＋＝1，曲线C2的极坐标方程ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化为直角坐标方程为x－y＋1＝0.直线x－y＋1＝0过点(0,1)，位于椭圆C1内，故C1与C2有2个交点．3．(2011·安徽“江南十校”联考)在极坐标系中，直线ρsin(θ－)＝与圆ρ＝2cosθ的位置关系是________．[答案] 相离[解析] 直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心C(1,0)，半径r＝1.因为圆心到直线的距离d＝＝>1，故直线与圆相离．4．已知曲线C1：ρ＝2sinθ，曲线C2：(t为参数)．(1)化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；(2)若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值．[解析] (1)曲线C1的方程化为ρ2＝2ρsinθ又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ所以曲线C1的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，因为曲线C2的参数方程是消去参数t得曲线C2的普通方程4x＋3y－8＝0.(2)在曲线C2的方程中，令y＝0得x＝2，即M点的坐标为(2,0)，又曲线C1为圆，其圆心坐标为C1(0,1)，半径r＝1，则|MC1|＝，∴|MN|≤|MC1|＋r＝＋1，|MN|的最大值为＋1.5．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．[解析] 直线l的参数方程为(t为参数)故直线l的普通方程为x＋2y＝0因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)其中θ∈R.11\n因此点P到直线l的距离是d＝＝.所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝cos(θ＋)，求直线l被曲线C所截的弦长．[解析] 将方程(t为参数)化为普通方程得，3x＋4y＋1＝0，将方程ρ＝cos化为普通方程得，x2＋y2－x＋y＝0，它表示圆心为，半径为的圆，则圆心到直线的距离d＝，弦长为2＝2＝.7．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xoy的原点O点为极点，以x轴正半轴为极轴，选取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin(θ＋)，若直线l与曲线C交于A、B两点．(1)求直线l的倾斜角及l与坐标轴所围成的三角形的面积；(2)求|AB|.[解析] (1)消去参数t得l的方程为y＝x＋，设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)．故tanα＝，所以α＝.又l交x、y轴于M(－，0)，N(0，)，∴S△OMN＝··＝.(2)由ρ＝2sin(θ＋)得ρ＝sinθ＋cosθ，∴ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，即x2＋y2＝x＋y，将代入得，t2＋(＋t)2＝t＋(＋t)，11\n解得t1＝0，t2＝，∴A(0，)，B(，)，∴|AB|＝.8．(2012·新疆克拉玛依实验中学模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线l：(参数t∈R)与曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝2sinθ.(1)求直线l与曲线C的普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点，证明：·＝0.[解析] (1)由直线的参数方程消去参数t得普通方程y＝2x＋2；由曲线C的极坐标方程得曲线C的普通方程为x2＝2y，(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x2－4x－4＝0，x1＋x2＝4，x1·x2＝－4，∴y1y2＝·＝4，∴·＝x1x2＋y1y2＝0.11
