参数方程[考试要求] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a＞b＞0)(φ为参数)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l＝|t1－t2|；(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．( )(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．( )(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )\n(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．曲线(θ为参数)的对称中心( )A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上B [由得所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]2．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为( )A．(3，－3)B．(－，3)C．(，－3)D．(3，－)D [将直线方程代入圆的方程，得＋＝16，整理，得t2－8t＋12＝0，则t1＋t2＝8，＝4，故其中点坐标满足解得]3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为．y＝2－2x2(－1≤x≤1) [由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝.3 [直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]考点一 参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．\n(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．1．将下列参数方程化为普通方程．(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)；(3)(t为参数)．[解] (1)∵＋＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝，∴x≠0.当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中或(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．(3)因为x＝，y＝＝＝4－3×＝4－3x.又x＝＝＝2－∈[0,2)，所以所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．2．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0.(1)当k＝1时，C1是什么曲线？(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．[解] (1)当k＝1时，C1：消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．(2)当k＝4时，C1：消去参数t得C1的普通方程为＋＝1.\nC2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为.点评：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．考点二 参数方程的应用 1.直线的参数方程中t的几何意义经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t的几何意义是：|t|表示以点P0(x0，y0)为起点，P(x，y)为终点的有向线段的长度，即|t|＝||.当t＞0时，的方向向上；当t＜0时，的方向向下；当t＝0时，点P与点P0重合．2．直线的参数方程中t的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，对应的参数分别为tA，tB，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为tM，则有(1)tM＝；(2)|AB|＝|tA－tB|＝；(3)|PA|·|PB|＝|tA|·|tB|；(4)|PM|＝|tM|＝；(5)若定点P是线段AB的中点，则tA＋tB＝0；(6)|PA|＋|PB|＝|tA|＋|tB|.解决此类题的关键如下：①统一，将曲线的方程统一为直角坐标系下的方程或者极坐标系下的方程；②联立，联立直线的参数方程和曲线的普通方程；③求值，根据t的几何意义求解．[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.①求C和l的直角坐标方程；②求C上的点到l距离的最小值．(2)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．①求α的取值范围；②求AB中点P的轨迹的参数方程．[解] (1)①因为－1<≤1，且x2＋＝＋＝1，\n所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.②由①可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为＝.当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.(2)①⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.②l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.点评：(1)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值．1．(2020·广州市调研检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin\nθ－ρcosθ－＝0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点P(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，求＋的值．[解] (1)因为，所以，所以x2－y2＝4.所以曲线C的普通方程为x2－y2＝4.因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以y－x－＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0.(2)法一：由，不妨取A，B.因为点P(0,1)，所以|PA|＝－1，|PB|＝＋1.所以＋＝＋＝.法二：因为点P(0,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)，设A，B对应的参数分别为t1，t2，将代入x2－y2＝4，得t2－2t－10＝0，Δ＝(－2)2－4×1×(－10)＝44＞0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝－10＜0.因为|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，所以＋＝＋＝＝＝＝，所以＋＝.2．(2020·江西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0≤β＜π)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β.[解] (1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x－4)2＋y2＝9，即x2＋y2－8x＋7＝0，\n又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ＋7＝0.(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，联立得，可得ρ2－8ρcosβ＋7＝0，因为Δ＝64cos2β－28＞0，所以cos2β＞，ρ1＋ρ2＝8cosβ，ρ1ρ2＝7，所以|OA|－|OB|＝|ρ1－ρ2|＝＝＝2，解得cosβ＝±，所以β＝或.考点三 极坐标、参数方程的综合应用 处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[典例2] (1)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cosθ.①求C2与C3交点的直角坐标；②若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值．(2)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．①写出C的普通方程；②以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．[解] (1)①曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.②曲线C1的极坐标为方程θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)，所以AB＝|2sinα－2cosα|＝4.\n当α＝时，AB取得最大值，最大值为4.(2)①消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．②C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.点评：(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解；(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程与极坐标综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．1．(2020·郑州市第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线E的极坐标方程；(2)若直线l交曲线E于点A，B，且OA⊥OB，求证：＋为定值，并求出这个定值．[解] (1)将点P代入曲线E的参数方程，得，解得a2＝4，所以曲线E的普通方程为＋＝1，极坐标方程为ρ2＝1.(2)不妨设A(ρ1，θ)，B，ρ1＞0，ρ2＞0，\n则，即，＋＝＋＝，即＋＝，为定值．2．(2020·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.(1)求出曲线C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin＝3，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．[解] (1)分别消去l1，l2的参数方程中的参数，得l1，l2的普通方程为l1：y＝k(x＋)，l2：y＝(－x)，两式相乘消去k可得＋y2＝1，因为k≠0，所以y≠0，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1(y≠0)．(2)因为ρsin＝3，所以ρsinθ＋ρcosθ＝6，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得直线C2的直角坐标方程为x＋y－6＝0.结合(1)知曲线C1与直线C2无公共点．曲线C1的参数方程为(α为参数，α≠kπ，k∈Z)，所以曲线C1上的点Q(cosα，sinα)到直线x＋y－6＝0的距离d＝＝，所以当sin＝－1时，d取得最大值，为4.
