活页作业 指数与指数函数一、选择题1．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )A．1<|a|<2 B．|a|<1C．|a|> D．|a|<解析：∵x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1>1，∴a2>2，∴|a|>.答案：C3．(文)(2022·安阳模拟)设a＝0.5，b＝0.4，c＝log(log34)，则( )A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．a<c<b解析：∵0<a＝0.5<0＝1，b＝0.4>0＝1，c＝log(log34)<log(log33)＝0，∴c<a<b，故应选C.答案：C4．(理)若y＝e|x|(x∈[a，b])的值域为[1，e2]，则点(a，b)的轨迹是图中的( )5\nA．线段BC和OCB．线段AB和BCC．线段AB和OAD．线段OA和OC解析：据题意当a＝－2，b≤2时，函数的值域符合条件，其轨迹为图中线段AB；当－2≤a≤0，b＝2时，函数值域符合条件，此时其轨迹为图中线段BC，故选B.答案：B4．(文)定义运算：a*b＝，如1]( )A．R B．(0，＋∞) C．(0,1] D．[1，＋∞)6．(理)(2022·咸阳模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－x－e－x.若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则( )A．K的最小值为1 B．K的最大值为2C．K的最大值为1 D．K的最小值为2解析：K≥f(x)对x∈(－∞，＋∞)恒成立，f(x5\n)在(－∞，0)上递增，(0，＋∞)上递减，f(x)max＝f(0)＝1，∴Kmin＝1.答案：A6．(文)(2022·铜川模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：由2－|x|＝得x＝±1.结合条件可知f(x)＝即得其单调递增区间是(－∞，－1)．答案：C二、填空题7．计算－×0＋8×－＝______.解析：原式＝×1＋2×2－＝2.答案：28．(2022·青岛模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：如图满足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.答案：19．给出下列结论：①当a<0时，(a2)＝a3；②＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠}；④若2x＝16,3y＝，则x＋y＝7.5\n其中正确结论的序号是______．(写出所有正确结论的序号)解析：∵a<0时，(a2)>0，a3<0，∴①错；②显然正确；解，得x≥2且x≠，∴③正确；∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝＝3－3，∴y＝－3，∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．答案：②③三、解答题(3)(理)当0<a<1时，f(x)＝.当x>0时，1>ax>0，ax＋1>0，ax－1<0，x3>0，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>1.(3)(文)证明：当a>1时，对x>0，由指数函数的性质知ax>1，∴ax－1>0，＋>0.5\n又x>0时，x3>0，∴x3>0，即当x>0时，f(x)>0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．5
