2-4指数与指数函数基础巩固强化1.(文)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )A．0 B.C.1D.[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y＝3x图象上知3a＝9，即a＝2，所以tan＝tan＝.(理)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][答案] B[解析] 由f(1)＝得a2＝，∵a>0，∴a＝，即f(x)＝()|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y＝f(x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝－f(－|x|)D．y＝f(－|x|)[答案] D[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x<0时，其函数图象与函数f(x)的图象相同，即该函数图象的解析式为y＝即y＝f(－|x|)，故应选D.14\n3．(2012·北京文，5)函数f(x)＝x－()x的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] 函数f(x)＝x－()x的零点个数即为方程x＝()x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y＝x和y＝()x的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．4．(文)三个数P＝()，Q＝()，R＝()的大小顺序是( )A．Q<R<PB．R<Q<PC．Q<P<RD．P<Q<R[答案] B[解析] 由于当a>1时，y＝ax为R上的增函数，故()<()，则排除A、C、D，选B.对于A选项，∵0<a<1时，对x<0有ax>1，但当a>1时，对x<0，ax<1，故()<().(理)设a＝0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是( )A．a>b>cB．a<b<cC．b<a<cD．a<c<b[答案] C14\n[解析] y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>>0.3，∴1>a>b，又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数，∴log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b<a<c.5．已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为( )A．y＝xB．y＝1－xC．y＝2＋xD．y＝3x－2[答案] D[解析] 设P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，则P关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数f(x)的图象上，∴y＝2－x，即g(x)＝3x－2.6．(文)已知函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a＝( )A．－1B.C．－1或D．1或－[答案] C[解析] 当a>0时，log2a＝，∴a＝；当a<0时，2a＝，∴a＝－1，选C.(理)(2013·四川内江市一模)已知a是f(x)＝2x－logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足( )A．f(x0)<0B．f(x0)＝0C．f(x0)>0D．f(x0)的符号不确定[答案] A[解析] 如图，在同一坐标系中，画出函数y＝2x与y＝logx的图象，其交点P的横坐标为a,0<x0<a时，2x0<logx0，∴f(x0)<0.14\n7．设函数f(x)＝a－|x|(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________．[答案] f(－2)>f(1)[解析] 由f(2)＝a－2＝4，解得a＝，∴f(x)＝2|x|，∴f(－2)＝4>2＝f(1)．8．(2011·厦门质检)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．[答案] log37[解析] 9x－6·3x－7＝0⇔(3x)2－6·3x－7＝0，∴3x＝7或3x＝－1(舍去)．∴x＝log37.9．(文)已知f(x)＝则f(f(3))的值为________．[答案] 3[解析] f(3)＝log3(32－6)＝1，f(f(3))＝f(1)＝3e1－1＝3.(理)(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0;②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c;④2a＋2c<2.[答案] ④[解析] 14\n作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示．又a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)<1，∴0<c<1，∴1<2c<2，f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.10．已知函数f(x)＝()|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．[分析] 这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它们的单调性，再求f(x)的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值，从而建立a的方程求出a.[解析] (1)令t＝|x|－a，则f(x)＝()t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝()t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在x＝0处取到最大值，∴f(0)＝()－a＝，∴a＝2.能力拓展提升11.(2011·湖北理，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )A．2B.14\nC.D．a2[答案] B[解析] ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2得，f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，解得f(x)＝ax－a－x，g(x)＝2，又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝.12．(文)已知f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝3时，x1>x2，则a与b的大小关系不可能成立的是( )A．b>a>1B．a>1>b>0C．0<a<b<1D．b>1>a>0[答案] D[解析] ∵f(x1)＝g(x2)＝3，∴ax1＝bx2＝3，∴x1＝loga3，x2＝logb3，当b>1>a>0时，x1<0，x2>0不满足x1>x2.(理)已知实数a、b满足等式()a＝()b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，其中不可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝()x，y＝()x的图象，如图．当x<0时，∵()a＝()b，∴a<b<0，②成立；14\n当x>0时，()a＝()b，则有0<b<a，①成立；当x＝0时，()a＝()b，则有a＝b＝0，⑤成立．故③④不成立，故选B.13．(文)若关于x的方程4x＋(1－a)·2x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，5]B．[5，＋∞)C．[4，＋∞)D．(－5,5][答案] B[解析] a－1＝2x＋≥2＝4等号在2x＝，即x＝1时成立，∴a≥5.(理)(2011·襄阳一调)用min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )A．7 B．6 C．5 D．4[答案] B[解析] 解法1：函数f(x)＝由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区间(2,4]上单调递增，在点x＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x＝4处两段上的函数值相等，故x＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f(4)＝6.故选B.解法2：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象如图，根据函数f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}的意义，函数f(x)的图象是由上面三个函数图象位于最下方的图象组成的，观察图象可知，当0≤x≤2时，f(x)＝2x，当2<x≤4时，f(x)＝x＋2，当x>4时，f(x)＝10－x，f(x)的最大值在x＝4时取得，最大值为6，故选B.14\n14．(2012·杭州第一次质检)若函数f(x)＝则方程f(x)＝的解集为________．[答案] {1}[解析] 方程f(x)＝可化为，或解之得，x＝1.15．已知函数f(x)＝()ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝()－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝()t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝()h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.[点评] 讨论f(x)＝()－x2－4x＋3的单调区间时，可化为f(x)＝3x2＋4x－3讨论，也可利用导数讨论．16．(文)已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(－x)，看是否等于f(x)(或－f(x))；14\n(2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；(3)b≤f(x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f(x)的单调性可求f(x)min.[解析] (1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．(理)已知函数f(x)＝x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．[分析] (1)由f(x)＝x的单调性可求出f(x)的值域，g(x)是以f(x)为变元的二次函数，令t＝x，可求关于t的二次函数的最小值h(a)．(2)由(1)知当m>n>3时h(a)的表达式，考察h(a)在[n，m]上的单调性，结合其值域[n2，m2]，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．[解析] (1)因为x∈[－1,1]，所以x∈.设x＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.14\n当a<时，h(a)＝φ＝－；当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.所以h(a)＝(2)因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m>n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m、n不存在．[点评] 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．1．如图是一个算法的程序框图，当输入x的值为3时，输出y的结果恰好为，则？处的关系式是( )A．y＝log9xB．y＝3x14\nC．y＝3－xD．y＝x[答案] B[解析] 输入x＝3≤0不成立，故x＝3－2＝1,1≤0不成立，故x＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y＝，故选B.2．下列大小关系正确的是( )A．0.43<30.4<log40.3B．0.43<log40.3<30.4C．log40.3<0.43<30.4D．log40.3<30.4<0.43[答案] C[解析] 根据指数函数和对数函数的性质，0<0.43<1,30.4>1，log40.3<0，故有log40.3<0.43<30.4.3．函数y＝的图象大致为( )[答案] A[解析] 函数有意义，需ex－e－x≠0，即x∈{x|x≠0}，排除答案C、D；又y＝＝＝1＋，当x>0时为减函数，排除B，故选A.4．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≤1时，f(x)＝x＋1，则有( )A．f<f<fB．f<f<fC．f<f<f14\nD．f<f<f[答案] A[解析] 由条件知，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，又x＝1为其对称轴，∴f＝f＝f＝f，∴f<f<f，即f<f<f，故选A.5．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A，y＝x＋a中，0<a<1，故y＝logax单减，与图象不符，排除A；对于B、C由y＝x＋a知，a>1，∴y＝logax单调增，与图象不符，排除B、C，因此选D.6．若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．[答案] [－3,1][解析] 14\nf(x)的图象如图．|f(x)|≥⇒f(x)≥，或f(x)≤－.∴或∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集为{x|－3≤x≤1}．7．函数f(x)的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h(x)＝x，φ(x)＝log2x，则f()＋f(4)的值为________．[答案] －[解析] 由程序框图知f(x)＝14\n∵h＝＝，φ＝－1，∴f＝－1，∵h(4)＝，φ(4)＝2，∴f(4)＝，∴f＋f(4)＝－1＋＝－.8．(2012·乌鲁木齐地区诊断)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在[－3，－2]上为减函数，则在锐角△ABC中，有( )A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(cosA)<f(cosB)[答案] A[解析] 由题知偶函数f(x)的周期为2，所以f(x)在[－1，0]上为减函数，故偶函数f(x)在[0,1]上为增函数，因为A＋B>，所以>A>－B>0,1>sinA>cosB>0.于是f(sinA)>f(cosB)，故选A.14
