第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入\n-2-\n5.1平面向量的概念及线性运算\n-4-知识梳理双基自测23411.向量的有关概念大小方向长度模01个单位长度\n-5-知识梳理双基自测2341相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反\n-6-知识梳理双基自测23412.向量的线性运算b+aa+(b+c)\n-7-知识梳理双基自测2341|λ||a|相同相反λμaλa+μaλa+λb\n-8-知识梳理双基自测23413.向量共线定理(1)向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得.注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有b=λa\n-9-知识梳理双基自测2341\n2-10-知识梳理双基自测3411.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.()(4)若向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.()×√×××\n-11-知识梳理双基自测23412.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案解析解析关闭由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.答案解析关闭A\n-12-知识梳理双基自测2341A.a-b+c-d=0B.a-b+c+d=0C.a+b-c-d=0D.a+b+c+d=0答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测23414.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-考点1考点2考点3例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命题的序号是.②A\n-15-考点1考点2考点3解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.(2)①不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,真命题的序号是②.\n-16-考点1考点2考点3解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示;(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.\n-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数为.C3\n-18-考点1考点2考点3解析:(1)①错误.当方向不同时,不是共线向量.②正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.(2)向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.\n-19-考点1考点2考点3A.-4B.-1C.1D.4思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?BA\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.\n-22-考点1考点2考点3A.-2B.-3C.2D.3A\n-23-考点1考点2考点3\n-24-考点1考点2考点3\n-25-考点1考点2考点3例3设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.思考如何用向量的方法证明三点共线?\n-26-考点1考点2考点3∴A,B,D三点共线.(2)解∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.\n-27-考点1考点2考点3解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.\n-28-考点1考点2考点3A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=0A.3∶4B.3∶2C.1∶1D.1∶3DD\n-29-考点1考点2考点3\n-30-易错警示——都是零向量“惹的祸”典例下列命题正确的是.①向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λa;②在△ABC中,;③不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;④只有方向相同或相反的向量是平行向量;⑤若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.答案:⑤\n-31-解析:因为向量a与b不共线,所以向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b平行,则存在实数λ使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,故此时λ无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.故⑤正确;①②③④显然错误.\n-32-典例2下列叙述错误的是.①若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同;②|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同;④若λa=λb,则a=b.答案:①②③④解析:对于①,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同;对于②,当a,b中有一个为零向量时结论不成立;对于③,因为两a,b的大小与方向如何,都有λa=λb,此时不一定有a=b.\n-33-反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得出错误的结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.
