5.3平面向量的数量积与平面向量的应用\n-2-知识梳理双基自测23416571.平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.8|a||b|cosθ\n-3-知识梳理双基自测23416572.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=.8x1x2+y1y2(5)已知两非零向量a与b,a⊥b⇔a·b=0⇔;a∥b⇔a·b=±|a||b|.(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立),即x1x2+y1y2=0\n-4-知识梳理双基自测23416573.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).8\n-5-知识梳理双基自测23416574.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.8\n-6-知识梳理双基自测23416578\n-7-知识梳理双基自测23416576.向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.8\n-8-知识梳理双基自测23416577.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.8\n-9-知识梳理双基自测234165788.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=(θ为F与s的夹角).|F||s|cosθ\n2-10-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.()(3)若a·b=0,则必有a⊥b.()(4)(a·b)·c=a·(b·c).()(5)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.()√×××××√\n-11-知识梳理双基自测234152.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案解析解析关闭由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选D.答案解析关闭D\n-12-知识梳理双基自测23415A.30°B.45°C.60°D.120°答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测234154.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-知识梳理双基自测234155.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos<a,c>=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-15-考点1考点2考点3B\n-16-考点1考点2考点3思考求向量数量积的运算有几种形式?\n-17-考点1考点2考点3解析：(1)法一(基向量法):\n-18-考点1考点2考点3法二(坐标法):建立如图所示的平面直角坐标系,\n-19-考点1考点2考点3\n-20-考点1考点2考点3解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.\n-21-考点1考点2考点3A.-15B.-9C.-6D.0(3)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a在向量b方向上的投影为.DC\n-22-考点1考点2考点3解析:(1)以C为原点,CB为x轴正半轴,建立坐标系,则B(3,0).\n-23-考点1考点2考点3\n-24-考点1考点2考点3B(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?4\n-25-考点1考点2考点3解析:(1)由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,以D为原点,直线DA为x轴,过点D且与DA垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,\n-26-考点1考点2考点3\n-27-考点1考点2考点3(2)设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理,得|a-b|\n-28-考点1考点2考点3解题心得1.求向量的模的方法:的运算转化为数量积运算;(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(或范围)的方法:(1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求;(2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.\n-29-考点1考点2考点3对点训练2(1)设a,b为单位向量,若向量c满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是()D\n-30-考点1考点2考点3\n-31-考点1考点2考点3\n-32-考点1考点2考点3思考两个向量数量积的正负与两个向量的夹角有怎样的关系?120°考向一求平面向量的夹角A\n-33-考点1考点2考点3\n-34-考点1考点2考点3考向二求参数的值或范围例4已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=.思考两个向量的垂直与其数量积有何关系?\n-35-考点1考点2考点3考向三在三角函数中的应用例5已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?\n-36-考点1考点2考点3\n-37-考点1考点2考点3考向四在解析几何中的应用思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?5\n-38-考点1考点2考点3解析：由点P在双曲线的右支上及双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又3|PF1|=4|PF2|,解得|PF1|=8a,|PF2|=6a.\n-39-考点1考点2考点3解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.2.若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0.3.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.4.向量在解析几何中的作用:(1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.\n-40-考点1考点2考点3(3)(2021全国Ⅰ,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=.BA\n-41-考点1考点2考点3\n-42-考点1考点2考点3解析：(1)记向量2a-b与a+2b的夹角为θ,\n-43-考点1考点2考点3(3)由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=.\n-44-考点1考点2考点3\n-45-思想方法——函数思想与数形结合思想在数量积中的应用答案:2解析:因为b≠0,所以b=xe1+ye2,x≠0或y≠0.\n-46-\n-47-典例2若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为则α与β的夹角θ的取值范围是.\n-48-反思提升求向量夹角与模的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数,利用求函数值域的方法确定最值,体现了函数思想的运用,又多与二次函数、基本不等式相联系;求向量夹角的范围问题,根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合确定夹角的范围.
