第1讲平面向量的概念及线性运算1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是( )A．一条线段 B．一段圆弧C．两个孤立点D．一个圆解析：选D.由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．2．(2022·高考福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )A. B．2C．3D．4解析：选D.因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.3．(2022·邯郸模拟)如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )A．0B.C.D.解析：选D.由题图知＋＋＝＋＋＝－＝.4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b解析：选D.连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.5．(2022·济南模拟)3\n如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为( )A．2B．3C．4D．5解析：选B．因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.6．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：选C.①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．7．(2022·陕西省质检)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________． 解析：因为向量a与向量b共线，可得b＝ma(m≠0)，整理得e1＋λe2＝2me1－me2，则所以λ＝－.答案：－8．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.答案：－a＋b9．(2022·九江监测)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．3\n解析：因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝，BA綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形10．(2022·高考全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得答案：11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解：因为d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．12.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.解：＝(＋)＝a＋b.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.3
