第3讲平面向量的数量积及应用举例1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )A．－2 B．2C．0D．2或－2解析：选B.n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2022·江西省九校联考)在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则·＝( )A．－B.C.D．－解析：选B.·＝·(＋)＝·＋0＝||·||·cos∠ACD＝×3×cos60°＝.3．已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|2＝1，则a与b的夹角等于( )A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选C.设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|·cosθ＝，且|a|＝1，所以|b|cosθ＝.①又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②由①②得cosθ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.4．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k＞0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k的值为( )A.B.C.D.解析：选A.设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sinθ＝，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)．5\n5．已知，是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.因为(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0.(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0，所以·＝·＝2·，即||＝||，而cosA＝＝，所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．6．(2022·沈阳一模)在△ABC中，已知|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝( )A.B.C.D.解析：选B.因为|＋|＝|－|，所以2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0，因为E，F为边BC的三等分点，不妨设E为靠近C的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝，故选B.7．(2022·江西省模拟)已知平面向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝________．解析：由题意得a·b＝－1，所以|a＋b|＝＝.答案：8．(2022·江西省九校联考)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．解析：由于＝(，)，＝(1，)，则有||＝，||＝，那么cos∠BAC＝＝，可得sin∠BAC＝＝，故△ABC的面积为S＝||||sin∠BAC＝1－.答案：1－9．(2022·山西省第一次四校联考)已知圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________．5\n解析：因为＋＝2，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°.由定义知，向量在向量方向上的投影为||cosB＝2×＝3.答案：310．(2022·高考安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.解析：因为2＝4|a|2＝4，所以|a|＝1，故①正确；因为＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，所以||＝|b|＝2，故②错误；因为b＝－，所以a·b＝·(－)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；因为＝b，故④正确；因为(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，所以(4a＋b)⊥，故⑤正确．答案：①④⑤11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4.②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.所以|4a－2b|＝16.(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.所以k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．12．(2022·河北省监测)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D为线段BC上的点，E为线段AB上的点，＝＝t，求当·＝时实数t的值．解：以C为原点，CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则C(0，0)，B(0，4)，A(3，0)，由题意＝t＝t(0，4)＝(0，4t)，＝t＝t(－3，4)＝(－3t，4t)，所以＝＋＝(3，0)＋(－3t，4t)＝(3－3t，4t)，＝＋＝(－3，0)＋(0，4t)＝(－3，4t)，·5\n＝(－3，4t)·(3－3t，4t)＝16t2＋9t－9＝，解得t＝(舍去)或t＝，所以t＝.1．(2022·郑州第一次质量预测)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为( )A.B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]解析：选D.记MN的中点为E，则有＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.又||的最小值等于点C到AB的距离，即，故·的最小值为－＝4.当点M与点A(或B)重合时，||达到最大，||的最大值为 ＝，因此·的取值范围是[4，6]，故选D.2．(2022·石家庄调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为________．解析：因为a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|，所以|a＋b|＝，又因为(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈(a＋b)，c〉＝cos〈(a＋b)，c〉，所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－2cos〈(a＋b)，c〉，所以当cos〈(a＋b)，c〉＝1时，|a＋b－c|＝3－2＝(－1)2，所以|a＋b－c|的最小值为－1.答案：－13．(2022·安康模拟)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(－6，9)．(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；(2)若点E在x轴上，使△BCE为钝角三角形，且∠BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围．解：(1)设D(x，y)，则＝(x，y－2)，＝(x－4，y－1)，由题意知AD⊥BC，则·＝0，即－10x＋8(y－2)＝0，即5x－4y＋8＝0，①由∥，得8(x－4)＝－10(y－1)，即4x＋5y－21＝0，②联立①②解得x＝，y＝，则＝.(2)设E(a，0)，则＝(4－a，1)，＝(－6－a，9)，由∠BEC为钝角，得(4－a)·(－6－a)＋9＜0，解得－5＜a＜3，5\n由与不能共线，得9(4－a)≠－6－a，解得a≠.故点E的横坐标的取值范围为(－5，3)．4．(2022·河南省三市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·. (1)求角B的大小；(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意得(a－c)cosB＝bcosC.根据正弦定理得(sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以sinAcosB＝sin(C＋B)，即sinAcosB＝sinA，因为A∈(0，π)，所以sinA＞0，所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，故△ABC的面积S＝acsinB≤，即△ABC的面积的最大值为.5
