第八章立体几何\n-2-\n8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图\n-4-知识梳理双基自测23411.空间几何体的结构特征平行且相等全等任意多边形有一个公共顶点的三角形相似\n-5-知识梳理双基自测2341矩形直角边直角腰圆锥半圆面或圆面\n-6-知识梳理双基自测23412.三视图(1)几何体的三视图包括,分别是从几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求:,,.②画法规则:一样高,一样长,一样宽;看不到的轮廓线画线.正视图、侧视图、俯视图正前正左正上长对正高平齐宽相等正侧正俯侧俯虚\n-7-知识梳理双基自测23413.直观图(1)画法:常用画法.(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为,z'轴与x'轴和y'轴所在平面.②原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中,平行于y轴的线段长度在直观图中.斜二测45°(或135°)垂直保持不变变为原来的一半\n-8-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)常见旋转体的三视图①球的三视图都是半径相等的圆.②底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.③底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.④底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.\n-9-知识梳理双基自测2341\n2-10-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()(4)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.()(5)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A=45°.()×√×√×\n-11-知识梳理双基自测234152.给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3A\n-12-知识梳理双基自测23415解析①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;③不一定.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.\n-13-知识梳理双基自测234153.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-知识梳理双基自测234154.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-15-知识梳理双基自测234155.如图,已知直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-16-考点1考点2考点3例1下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?D\n-17-考点1考点2考点3解析:A错误,由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体如图①所示,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图②所示,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.图(1)图(2)\n-18-考点1考点2考点3解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.\n-19-考点1考点2考点3对点训练1设有以下结论:①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;②底面是矩形的平行六面体是长方体;③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;④棱台的相对侧棱延长后必交于一点;其中正确的序号是.①③④\n-20-考点1考点2考点3解析:①符合平行六面体的定义,故①正确;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故②错误;③正确,如图,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明∠PAB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形;④由棱台的定义知是正确的.\n-21-考点1考点2考点3例2(1)水平放置的某个三角形的直观图如右图所示,D'是△A'B'C'中B'C'边的中点,且A'D'∥y'轴,A'B',A'D',A'C'三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,则()A.AB>AD>ACB.AC>AD>ABC.AB=AC>ADD.AD>AB>ACC\n-22-考点1考点2考点3(2)如图,已知△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为.思考用斜二测画法画直观图的方法技巧有哪些?\n-23-考点1考点2考点3解析:(1)A'D'∥y'轴,根据斜二测画法的规则,在原图形中应有AD⊥BC,又AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高,则有AB,AC相等且大于AD.\n-24-考点1考点2考点3(2)(方法一)建立如图所示的平面直角坐标系xOy',△A'B'C'的顶点C'在y'轴上,边A'B'在x轴上,OC为△ABC的高.把y'轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,则点C'变为点C,且OC=2OC',点A,B即为点A',B',长度不变.已知A'B'=A'C'=a,在△OA'C'中,由正弦定理,\n-25-考点1考点2考点3\n-26-考点1考点2考点3解题心得1.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.2.把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度变成原来的2倍.3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:\n-27-考点1考点2考点3对点训练2已知正三角形ABC的边长为a,则它的直观图的面积是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-28-考点1考点2考点3考向一由空间几何体的直观图识别三视图例3一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图正确的是()思考由直观图得三视图的基本思路是什么?答案解析解析关闭该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影到左右两边的距离相等,故选B.答案解析关闭B\n-29-考点1考点2考点3考向二由空间几何体的三视图还原直观图例4某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16思考由三视图还原几何体的直观图的基本步骤有哪些?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-30-考点1考点2考点3考向三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图例5(2021全国Ⅱ,理6)在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是()思考各视图之间的联系是什么?D\n-31-考点1考点2考点3解析:由题意还原该正方体的直观图如图所示,该多面体的三视图中,相应的侧视图为D.\n-32-考点1考点2考点3解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.\n-33-考点1考点2考点3对点训练3(1)如图,点E在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1上,且CE=CC1,削去正方体过B,E,D1三点所在的平面的下方部分,则剩下部分的侧(左)视图为()A\n-34-考点1考点2考点3(2)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各个面中最大面的面积为()B\n-35-考点1考点2考点3(3)某几何体的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图可以为()B\n-36-考点1考点2考点3解析:(1)先作出B,E,D1三点所在的平面,可以取AA1上一点F,满足A1F=A1A,则平行四边形BED1F就是过B,E,D1三点的平面(两个平行的平面被第三个平面所截交线平行),所以剩下部分的侧(左)视图是A,故选A.(2)由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD.\n-37-考点1考点2考点3(3)由俯视图与正视图可知,该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.
