第一篇方法篇·关键能力\n第七讲 排列、组合、二项式定理\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．考查排列、组合的实际应用．2．考查二项式系数、常数项、二项式指定项的求解．高考导航\n高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国甲卷10利用排列组合求概率5全国乙卷6排列组合解实际应用题52020Ⅰ卷8二项式定理及其展开式的通项公式5Ⅱ卷14排列组合解决实际问题5Ⅲ卷14二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项52019Ⅰ卷6，15，21排列组合16Ⅱ卷/Ⅲ卷4二项式定理5\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身C\n\n\n2．(2021·全国Ⅱ卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志感者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种B\n3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24A\n28\n5．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)16\n\n6．(2020·全国卷Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．36\n240\n8．(2021·浙江高考)已知多项式(x-1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝________.【解析】(x-1)3＝x3-3x2＋3x-1，(x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，所以a1＝1＋4＝5，a2＝-3＋6＝3，a3＝3＋4＝7，a4＝-1＋1＝0，所以a2＋a3＋a4＝10.510\n1．排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型．2．二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第9～10或第13～15题的位置上．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．考点一 两个计数原理\n1．已知I＝{1，2，3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对D\n2．用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A．18B．16C．12D．9【解析】根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同的四位数，故选D.D\n3．(2021·信阳模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A．30种B．50种C．60种D．90种B\n【解析】①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以总共有20＋30＝50种．\n4．(2021·未央区校级模拟)将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有()A．15种B．18种C．21种D．24种C\n【解析】把4个小球分成(2，1，1)组，其中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法(红红，红黄，红白，白黄)，若(红红，红黄，红白)分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给2个小朋友，共有3×3×2＝18种，若(白黄两个小球)分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有1种分法，故有3×1＝3种，根据分类计数原理可得，共有18＋3＝21种．故选C.\n5．某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是________.【解析】由题意可得，①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有3×2＝6(种)．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有3×2＝6(种)．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有6＋6＝12(种)．12\n6．将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的放法共有________种．【解析】解法一：设每个盒子中球的个数分别为x，y，z，则可知x＋y＋z＝9，x，y，z∈N*，则正整数解的个数为7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28，即不同的放法有28种．若x，y，z全相等，有1种放法．若x，y，z有且仅有2个相等，则有1，1，7；2，2，5；4，4，1三种分配方式，共9种放法，所以满足条件的不同的放法有28-1-9＝18(种)．解法二：因为每个盒子中的球数各不相同，所以9个球的分配方式为1，3，5或1，2，6或2，3，4.由于盒子不同，所以不同的放法有3×A＝18(种)．18\n两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．\n1．(2021·全国高三月考)从甲、乙等5位同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人中甲、乙至少有1人的情况有()A．4种B．5种C．6种D．7种【解析】设这五位同学分别是甲、乙、丙、丁、戊，则从这5人中任选2人且选中的2人中甲、乙至少有1人的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊，共7种情况．故选D.D\n2．(2021·赣榆区期中)已知x∈{1，2，4}，y∈{-2，-3，5}，则x·y可表示不同的值的个数为()A．8B．9C．10D．12【解析】x∈{1，2，4}，y∈{-2，-3，5}，从x中选1个，从y选1个，共有3×3＝9种运算结果，且没有相同的运算结果．故选B.B\n将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有________种．【解析】∵由题意知要求每行、每列都没有重复数字，∴先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，同理最左上方的格子下面的格子有2种结果，再下面的只有一种结果，根据分步计数原理知共有3×2×2＝12种结果．12\n排列与组合的异同点考点二 排列、组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与顺序有关②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同①组合与顺序无关②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同\n考向1带附加条件的排列、组合问题1．(2021·江苏泰州高三模拟)六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有()A．48B．72C．90D．120A\n\n2．(2021·全国高三模拟)第三方检测机构又称公正检验，指两个相互联系的主体之外的某个客体，我们把它叫做第三方．某县为创建文明城市，省里委托第三方检测机构对该县进行检测，现从7名检测人员中选派5人到该县甲、乙、丙三个单位检查，要求每个单位至少派1人，甲单位2人，则不同的选派方法总数为()A．630B．1260C．480D．1120B\n\n3．(2021·浙江湖州市高三二模)某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是()A．90B．216C．144D．240B\n【解析】完成这件事情，可以分两步完成，第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有C-1＝9种方案；第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有A＝24种不同方案，所以根据分步乘法计数原理得共有24×9＝216种不同安排方案．故选B.\n考向2分组、分配问题4．(2021·广东珠海市高三二模)5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有几种不同的分配方法()A．24B．48C．96D．12C\n\n5．(2021·陕西渭南市高三二模)以“全民全运同心同行”为主题口号的第十四届全国运动会将于2021年9月15日至27日在陕西举行．组委会安排A，B，C，D，E五名工作人员到我市三个比赛场馆做准备工作，每个场馆至少1人，则不同的安排方法有()A．150种B．210种C．240种D．300种A\n\n\n6．(2021·北京二中高三模拟)在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有________种．18\n解排列组合问题的要点(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．(4)相邻问题捆绑，不相邻问题插空，定序问题缩倍，元素相同问题隔板．\n4．(2021·江苏南通市高三模拟)4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为()A．81B．72C．36D．6C\n\n5．(2021·重庆南开中学高三模拟)某地为了庆祝建党100周年，将在7月1日举行大型庆典活动．为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加．已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是________.14\n【解析】若参与“剪辑”工作的有1人，则不同的分配方法数为2×(23-2)＝12；若参与“剪辑”工作的有2人，则不同的分配方法数为2种．综上所述，不同安排方案的种数是12＋2＝14种．\n6．(2021·广东茂名市高三二模)国庆节期间，某市举行一项娱乐活动，需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A，B，C三个服务项目，每个项目需要2人，其中A项目需要男志愿者，B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者，则不同的选派方法种数为__________.540\n考点三 二项式定理\n\nC\n\n\nD\n\n3．(2021·全国高三模拟)已知(x2-a)(x＋1)3的展开式中含x2项的系数为-2，则实数a＝()A．1B．-1C．2D．-2A\nB\n\n5．(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是()A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y5C\n\n-1\n利用二项式定理求解的3种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．(3)二项展开式的最大项是通过不等式组确定的．\nC\n\n8．(2021·山东日照市高三月考)(x-1)(x-2)6展开式中x3的系数为()A．80B．-80C．400D．-400C\n\nB\n\n明晰易错点•高考零失误\n(2021·重庆模拟)A，B，C，D，E，F六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次．A，B，C三人去询问比赛结果，裁判对A说：“你和B都不是第一名”；对B说“你不是最差的”对C说：“你比A，B的成绩都好”据此回答分析：六人的名次有几种不同情况()A．720B．240C．180D．128C典例1易错点一：混淆“分类”和“分步”\n\n【易错释疑】避开此类易错点的关键是从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度解决问题．(1)“分析”就是根据题目的条件，分析哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素是否有限制等；(3)“分类”将较复杂的问题分成互斥的几类问题，然后逐类解决，分类时要做到不重不漏；(4)“分步”就是把问题按步骤解决，且每一步都是简单的排列，组合问题．\n(2021·成都七中月考)为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作．因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为()A．18B．24C．30D．36C典例2易错点二：忽略限制条件\n【解析】根据题意，分2步进行分析：①将五名专家分成3组，要求甲乙在同一组，丙丁不在同一组，若分为3、1、1的三组，甲乙必须同在三人组，有C＝3种分组方法，若分为1、2、2的三组，甲乙必须同在二人组，丙、丁各在一组，戊有2种情况，此时有2种分组方法，则一共有3＋2＝5种分组方法；②将分好的三组全排列，分配到三个地区，有A＝6种情况，则有5×6＝30种分配方法；故选C.\n【易错释疑】破解此类题时一般是先排列有限制条件的元素，再排列没有限制条件的元素，注意间接法在排列组合问题中的灵活应用．玉\n(多选)(2021·重庆高三月考)关于(2x-1)8的展开式，下列说法正确的是()A．展开式中所有项的系数和为28B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C．展开式中二项式系数的最大项为第五项D．展开式中含x3项的系数为-448BCD典例3易错点三：混淆二项式系数与二项展开式的项的系数\n\n
