第十章计数原理、概率、随机变量及其分布\n第三讲 二项式定理\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n二项式系数通项k＋1\n知识点二 二项展开式形式上的特点(1)项数为_______.(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_____.(3)字母a按________排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按________排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.n＋1n降幂升幂\n2n2n－1\n\n××√×××\n18564\n3．(选择性必修3P38T5(1))(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为__________.－26x2\n160\nC\n考点突破·互动探究\n例1考点一二项展开式的通项公式的应用——多维探究240A\n(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60C\n\n例2－4\n240\n\n求二项展开式中的特定项或其系数，一般是写出通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可．\n7B\nC\n\n(1)(2022·四川内江模拟)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29例3D考点二二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研\nC8\n\n(3)由题意，令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，令x＝0得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝16，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝16，所以a0＋a2＋a4＋a6＝8.故答案为8.\n[引申]在本例(3)中，(1)a0＝_____；(2)a1＋a3＋a5＝_______；(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝_____；(4)a2＝_____；(5)a1＋2a2＋…＋6a6＝_____.2－8050\n\n赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，\n\nC\nC\n\n\n角度1整除问题(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12例4D考点三二项式定理的应用——多维探究\nA\n\n[引申]若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为_____.7\n角度2近似计算1.028的近似值是__________.(精确到小数点后三位)例51.172\n角度3证明不等式求证：n∈N且n≥3时，2n－1≥n＋1.例6\n1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．2．求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.3．由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．\nC0.988\n\n名师讲坛·素养提升\n例7\n\n\n60240x6\n\n例8D－960\n\n\n\n〔变式训练5〕(2022·广东汕头模拟)在(x2－x－2)5的展开式中，x3的系数为()A．－40B．160C．120D．200C
