[第10讲 数列、等差数列、等比数列](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为( )A．B．C．2D．32．若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝( )A．8B．12C．16D．243．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝( )A．10B．12C．14D．204．等比数列{an}中，a2＝1，a8＝64，则a5＝( )A．8B．12C．8或－8D．12或－125．如果数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式an＝________.提升训练6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝6，则S5等于( )A．10B．12C．15D．307．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝，则a2022等于( )A．0B．1C．D．28．已知各项都不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于( )A．1B．2C．4D．89．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝2n(n∈N*)，则下列数列中一定是等比数列的是( )A．{an}B．{an－1}C．{an－2}D．{an＋2}10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，a2＋a4＋a6＝15，则S10＝________.11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a＝2a3a6，S5＝－62，则a1的值是________.12．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.则an＝________.13．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.-4-\n14．已知数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，且对任意正整数n都有n，an，Sn成等差数列.(1)求证：数列{Sn＋n＋2}成等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.15．已知正项数列{an}，a1＝1，an＝a＋2an＋1.(1)求证：数列{log2(an＋1)}为等比数列；(2)设bn＝nlog2(an＋1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn＜4.-4-\n专题限时集训(十)【基础演练】1．C [解析]由a6＝a1a2a3，得a1q5＝aq3，即q2＝a.因为等比数列的各项都为正数，所以q＝a1＝2.2．C [解析]设数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝8，S3＝3a1＋d＝6，解得a1＝0，d＝2，所以a9＝0＋8×2＝16.3．C [解析]由an＋2＝2an＋1－an得，数列{an}为等差数列．由a5＝4－a3，得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14.4．C [解析]设数列{an}的公比为q.易知，a5是a2和a8的等比中项，所以a＝a2a8＝1×64＝64，又由于＝q3，q的符号不确定，故a5与a2符号可能相同，也可能不相同，因此a5＝±8.5．n2－n＋2 [解析]由于an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，将这n－1个等式叠加，整理得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，故an＝n2－n＋2.【提升训练】6．C [解析]S5＝＝＝15.7．B [解析]经验算得，a1＝0，a2＝1，a3＝，a4＝2，a5＝0，…故可知数列{an}具有周期性，且其周期为4，所以a2022＝a4×503＋2＝a2＝1.8．C [解析]因为a4－2a＋3a8＝0，所以2a＝a4＋3a8＝4a7，所以a7＝2，所以b7＝2，所以b2b12＝b＝4.9．C [解析]由Sn＋an＝2n①，可得Sn－1＋an－1＝2(n－1)(n≥2)②，由①－②得2an－an－1＝2，即an－2＝(an－1－2)，可知数列{an－2}为等比数列．10．65 [解析]设数列{an}的公差为d，则a2＋a4＋a6＝3a1＋9d＝6＋9d＝15，得d＝1，所以S10＝10×2＋×1＝65.11．－2 [解析]设公比为q.由a＝2a3a6得(a1q4)2＝2a1q2·a1q5，所以q＝2.又S5＝＝－62，解得a1＝－2.12．4n－1＋n [解析]由题设an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列，所以an－n＝4n－1，所以an＝4n－1＋n.13．解：(1){an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.∴又公差d＞0，故∴d＝2，a1＝1.∴an＝2n－1.(2)n≥2时，＝2n－1－(2n－3)＝2，bn＝2n＋1，又＝a1＝1，b1＝2，∴bn＝n≥2时，Sn＝(4＋8＋…＋2n＋1)－2＝－2＝2n＋2－6，n＝1时也符合，故Sn＝2n＋2－6.14．解：(1)证明：∵n，an，Sn成等差数列，∴2an＝n＋Sn，又an＝Sn－Sn－1(n≥2)，-4-\n∴2(Sn－Sn－1)＝n＋Sn(n≥2)，即Sn＝2Sn－1＋n(n≥2)，∴Sn＋n＋2＝2Sn－1＋2n＋2(n≥2)，∴Sn＋n＋2＝2[Sn－1＋(n－1)＋2](n≥2)，即＝2，∴数列成等比数列．(2)由(1)知数列是以S1＋3＝a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，∴Sn＋n＋2＝4×2n－1＝2n＋1，又2an＝n＋Sn，∴2an＋2＝2n＋1，∴an＝2n－1.15．证明：(1)∵an＝a＋2an＋1，∴an＋1＝(an＋1＋1)2.∵an＞0，∴log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)．∴{log2(an＋1)}是以1为首项，为公比的等比数列．(2)由(1)可知log2(an＋1)＝，∴bn＝nlog2(an＋1)＝n·，Sn＝1＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，上面两式相减，得Sn＝1＋＋＋…＋－＝2－，∴Sn＝4－＜4，又∵bn＝n·＞0，∴Sn≥S1＝1，所以1≤Sn＜4.-4-
