专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1.已知在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．答案：13解析：∵a3＝7，a5＝a2＋6，∴3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝13.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________．答案：解析：∵6S5－5S3＝5，∴6(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，得a1＋3d＝.3.已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15.若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和为________．答案：90解析：an＝3n，bn＝6n.4.已知等比数列{an}的公比q>0，且a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________．答案：解析：a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，∴q2＋q＝6(q＞0)，∴q＝2，则S4＝.5.设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________．答案：15解析：＝＝＝15.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．答案：4解析：设公差为d，则即又a4＝a1＋3d，由线性规划可知a1＝1，d＝1时，a4取最大值4.7.在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为前________项的和．答案：198.设Sn、Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项和，已知＝，n∈N*，则＋＝____________.答案：解析：＋＝＋＝＝＝＝.9.已知通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1<a2<a3<a4<a5，且an>an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是____________．答案：－＜a＜－-3-\n解析：a1<a2<a3<a4<a5，得a＋1<4a＋2<9a＋3<16a＋4<25a＋5，a>－；an>an＋1对n≥8恒成立，得a<－，得a<－.10.设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和，记Tn＝，n∈N＋，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝____________．答案：4解析：不妨设a1＝1，则an＝()n－1，an＋1＝()n，Sn＝＝，S2n＝＝，Tn＝＝＝－，因为函数g(x)＝x＋(x＞0)在x＝4时，取得最小值，所以Tn＝－在an＋1＝4时取得最大值，此时an＋1＝()n＝4，解得n＝4，即T4为数列{Tn}的最大项，则n0＝4.11.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋…＋，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设公差为d，则解得或(舍去) ∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)n＝1时，a1＝，a1＝1，∴b1＝2；n≥2时，an－1＝＋＋…＋，2＝an－an－1＝(n≥2)，bn＝2n＋1(n≥2)，∴bn＝Sn＝2n＋2－6(n∈N*)．12.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0，q≠1)．(1)求证：数列{an＋1－an}为等比数列；(2)若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的n∈N*，an＋3，an，an＋6是否成等差数列？说明理由．(1)证明：由an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)．又a2－a1＝1，q≠0，所以数列{an＋1－an}为等比数列．(2)解：由(1)得an＋1－an＝qn－1(q≠1)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝qn－2＋qn－3＋…＋q＋1＋1＝1＋.因为2a3＝a6＋a9，所以a3－a6＝a9－a3，即q5－q2＝q2－q8.因为q≠0，所以q3－1＝1－q6.因为an－an＋3＝＝(q3－1)，-3-\nan＋6－an＝＝(1－q6)．所以an－an＋3＝an＋6－an，即2an＝an＋3＋an＋6.所以，对任意的n∈N*，an＋3，an，an＋6成等差数列．13.已知等差数列{an}的首项a1≠0，公差d≠0，由{an}的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝2，b3＝6.(1)求数列{bn}的通项公式bn；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的值；(3)求An＝Sn－的最小值．解：(1)由a＝a1a6，得(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，d2－3a1d＝0.又d≠0，所以d＝3a1，所以q＝4，所以abn＝a1·4n－1.又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1＋(bn－1)3a1，所以a1·4n－1＝a1＋(bn－1)3a1.因为a1≠0，所以3(bn－1)＋1＝4n－1，故bn＝＋.(2)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＝(1＋4＋…＋4n－1)＋＝·＋＝.(3)由Sn＝，得An＝Sn－＝(4n－2006n－1)，若存在n∈N*，使得An≤An＋1，且An≤An－1，则An的值最小．于是由解得≤4n≤(n∈N*)，取n＝5，(An)min＝－.-3-
