第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第六讲 对数与对数函数\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作___________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．x＝logaNaN\n(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0，且a≠1)________常用对数底数为_____________自然对数底数为____________logaN10lgNelnN\n2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质：①loga1＝____；②logaa＝____(其中a>0且a≠1)．(2)对数恒等式：alogaN＝____.(其中a>0且a≠1，N>0)(3)对数的换底公式：logbN＝_____(a，b均大于零且不等于1，N>0)．01N\nlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM\n知识点二 对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质y＝logax(a＞0，且a≠1)\n性质定义域：____________值域：_______________当x＝1时，y＝0，即过定点_________当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，_______当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，_______在(0，＋∞)上为_________在(0，＋∞)上为_________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)y＞0y＜0增函数减函数\n2．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数___________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______对称．y＝logaxy＝x\n1．指数式与对数式互化\n\n3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．\n×××\n[解析](5)设2lg3＝M,3lg2＝N，则lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.√×\n0－14\n\n3．(必修1P127T5改编)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12的值为()A．aB．bC．2a＋bD．2ab[解析]因为lg2＝a，lg3＝b，所以lg12＝lg(4×3)＝2lg2＋lg3＝2a＋b.故选C．C\n\nB\n\n题组三 走向高考6．(2017·全国卷Ⅱ，5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D．D\nA\n考点突破·互动探究\n例1考点一对数与对数运算——自主练透12\n\n\n\n考向1对数函数的图象及其应用——师生共研(1)函数y＝lg|x－1|的图象是()例2考点二对数函数的图象与性质A\nB\n\n\n\n应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．\n〔变式训练1〕(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()A\n[解析](1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．\n\n\n例3B\n(2)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<bA\n\n角度2利用对数函数单调性求参数的取值范围(2021·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4]B．[4，＋∞)C．[－4，4]D．(－4，4][分析]函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．例4D\n\n例5C\n\n1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．\n2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤\nD\nC\nB\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例6C\n\n在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．\n〔变式训练3〕(2020·全国新高考Ⅰ，6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT，有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B\n
