第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第七讲 函数的图象\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点 函数的图象1．利用描点法作函数图象的流程\n右移左移上移下移\n伸长缩短伸长缩短A\n－f(x)f(－x)－f(－x)f(|x|)|f(x)|\nx＝mx＝m\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是由y＝f(2x)左移1个单位得到．()(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()(5)若函数y＝f(x＋2)是偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x－2)．()(6)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()××××××\nx轴y轴y＝x上log2(x＋2)\n4．(必修1P115T1改编)已知图甲中的图象对应的函数y＝f(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)[解析]由图可知当x≤0时，y＝f(x)，故选C．C\n题组三 走向高考5．(2020·浙江，4)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是()A\n[解析]本题考查函数图象的识别．设f(x)＝xcosx＋sinx，f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项C，D．又f(π)＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，排除选项B，故选A．\n6．(2015·北京，7，5分)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}C\n[解析]作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1，1)，结合图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C．\n考点突破·互动探究\n例1考点函数的图象\n[分析](1)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧；(2)先对绝对值分类讨论，将原函数化成分段函数的形式，再分段作图即可；(3)先化简解析式，分离常数，再利用图象变换画出图象；(4)将y＝log2x的图象向左平移1个单位→y＝log2(x＋1)的图象→将y＝log2(x＋1)的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的图象．\n\n\n\n(4)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．\n函数图象的画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出．\n易错提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．\n例2A\n\n例3D\n\n角度3知图选图(2022·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则函数y＝f(2－x)的曲线是()例4C\n[解析]解法一：先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的图象．所以答案为C．(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化)．解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的图象过点(2，0)，排除B、D．又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1处的函数值大于0，排除A，故选C．\n函数图象的识辨可从以下几方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．\nD\nC\n(3)(角度3)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()B\n\n\n考向3函数图象的应用——多维探究角度1函数图象的对称性(1)(2018·课标全国Ⅲ，7)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)例5B\nC\n[解析](1)本题考查函数图象的对称性．解法一：y＝lnx图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝lnx图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B．解法二：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝lnx图象上．∴y＝ln(2－x)．故选B．\n[小题巧解]用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题．\n角度2利用函数图象研究函数性质已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)例6C\n\n例7D\n\n(－∞，－1)∪(0，1)\n(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．\n(2)利用函数的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．\n〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(x)的解析式为___________________.(2)(角度1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于()A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称D．直线x＝1对称g(x)＝－ln(x－1)D\n(3)(角度2)(2022·北京育才学校高三月考)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是()A．2个B．3个C．4个D．多于4个C\n[解析](1)设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1，0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．(2)解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称，即关于x＝1对称．故选D．解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D．\n(3)f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示：显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选C．\n\n名师讲坛·素养提升\n例8B\n\n\n求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：\n〔变式训练3〕函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．3B．6C．4D．2B\n[解析]由图象变换的法则可知，y＝lnx的图象关于y轴对称后的图象和原来的一起构成y＝ln|x|的图象，向右平移1个单位长度得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cosπx的周期T＝2.如图所示，两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.
