第八章解析几何\n第六讲 双曲线\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的___________________________________的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________.距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)焦点焦距\n注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__________；(2)当a＝c时，P点的轨迹是____________；(3)当a＞c时，集合P是________.双曲线两条射线空集\n知识点二 双曲线的标准方程和几何性质\n(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)\n实轴2a虚轴2ba实半轴长虚半轴长\n\n\n\n××\n√√√\n3x±4y＝0\nBCD\n\n\nA\n\n考点突破·互动探究\n例1考点一双曲线的定义及其应用——自主练透B9\nB\n[解析](1)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．\n\n[引申1]本例(2)中|PF|－|PA|的最小值为_______.[解析]设双曲线右焦点为F1，则|PF|－|PA|＝|PF1|－|PA|＋2a≥2a－|AF1|＝4－5＝－1(当且仅当P在AF延长线上时取等号)，∴|PF|－|PA|的最小值为－1.[引申2]若将本例(3)中“△PF1F2的周长为16”改为“△PF1F2的面积为16”，则sin∠F1PF2＝______.－1\n\n\n(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．\nA\n\n\n例2考点二双曲线的标准方程——师生共研\n\n\n\n求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，根据条件确定A、B即可．\n\nA\nB\n\n\n例3考点三双曲线的几何性质——多维探究8\n例4A\nB\n\n例5A\nC\nC\n\n\n\n\nC\nC\nC\n\n\n\n例6考点四直线与双曲线的综合问题——多维探究C\n\n此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条，选项C正确．优解：由图形可知，过点A(0，1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．\n[引申1]本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为__________.[引申2]本例中，若将“A(0，1)”改为“A(1，0)”，则符合条件的直线有_____条．[引申3]本例中，若将“A(0，1)”改为“A(2，0)”，则符合条件的直线有_____条．[引申4]本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为___________.(－3,3)32\n\n[引申5]本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为_________________________.(－∞，－3)∪(3，＋∞)\n1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系求解，注意整体代入．2．有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．\n例7B4x－y－7＝0\n\n(1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验．(2)弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长间关系的应用．如本例(1)中双曲线实轴长为2，通径长为6，则满足|AB|＝m的直线①当2<m<6时有2条；②当m>6时有4条；③当m＝2时有1条；④当0<m<2有0条．\n6x－y－11＝0\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例8A\nC\nB\nA\nA\nC\n\n\n\n\n\n\n\n\n求离心率的取值范围需构造a、b、c间的不等关系，一般从以下几方面入手：①曲线的范围；②构造方程，借助判别式；③数形结合．\nA\nD\nD\n2\n\n\n\n\n\n\n[引申]本题(3)中，若直线与双曲线的右支有两个交点，则离心率的取值范围是________；若直线与双曲线左、右两支各有一个交点，则离心率的取值范围是____________.(1,2)(2，＋∞)
