活页作业 双曲线一、选择题1．若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是( )A．－3＜k＜－2 B．k＜－3C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2解析：由题意可知，解得－3＜k＜－2.答案：A2．(理)已知点P(3，－4)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线上的一点，E、F是左、右两个焦点，若·＝0，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝12．(文)已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )A.－y2＝1 B．x2－＝1C.－＝1 D.－＝1解析：由题意知，c2＝10，MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝40，||MF1|－|MF2||＝2a⇒|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝4a2，解得a2＝9.答案：A3．(2022·烟台模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±x9\nC．y＝±x D．y＝±x解析：由题意可得，抛物线的焦点坐标为(4,0)，即c＝4.又∵e＝＝2，得a＝2.∴b＝＝＝2.∴＝，则双曲线渐近线方程为y＝±x＝±x.答案：D4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为( )5．(理)P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )A．6 B．7 C．8 D．9解析：易知两圆圆心为F1(－5,0)，F2(5,0)．由双曲线方程知a＝3，b＝4，则c＝5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点．|PM|－|PN|的最大值为如图所示的情况，即|PM|－|PN|≤|PF1|＋|F1M|－(|PF2|－|NF2|)＝|PF1|＋2－|PF2|＋1＝2a＋3＝2×3＋3＝9.答案：D9\n5．(文)P是双曲线－＝1上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值(a＞0，b＞0)等于( )A．4 B．7 C．6 D．5解析：∵e＝＝，∴设a＝4k，b＝3k，c＝5k.由|PF1|2＋|PF2|2＝100k2，|PF1|·|PF2|＝9，(|PF1|－|PF2|)2＝100k2－36＝64k2，解得k＝1，∴a＋b＝4k＋3k＝7.答案：B6．(理)(2022·浙江高考)如图所示，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )9\n直线F1B的斜率为k＝，∴PQ的垂直平分线为y－＝－.令y＝0得x＝＋c，∴M，∴|F2M|＝.由|MF2|＝|F1F2|得＝，即3a2＝2c2.∴e2＝，∴e＝.答案：B6.(文)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N9\n将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A．3 B．2 C. D.二、填空题7．已知双曲线x2－y2＝1的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2|＝________.解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2)2＝8，∴|PF1|·|PF2|＝4.∴(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.∴|PF1|＋|PF2|＝2.答案：28．(理)(2022·北京模拟)直线x＝t过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：A，B，要使原点在以AB为直径的圆外，只需原点到直线AB9\n的距离|t|大于半径即可，于是b＜a，e＝＝＜，又e＞1，故1＜e＜.答案：(1，)8．(文)(2022·北京模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率e的取值范围是________．解析：设F1、F2分别是左、右焦点，则点P为右支上一点，如图．依据双曲线定义知：|PF1|－|PF2|＝2a，则3|PF2|－|PF2|＝2a，则a＝|PF2|≥c－a，所以2a≥c，∴e＝≥2，又e＞1，则1＜e≤2.答案：(1,2]9．(理)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．解析：A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，又x2－＝1，故y2＝3(x2－1)，于是·＝4x2－x－5＝42－5－，当x＝1时，取到最小值－2.答案：－29．(文)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析：设右焦点为F1，依题意，|PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题9\n10．(理)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F(－2,0)，F(2,0)，点P(3，)在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，若△OEF的面积为2，求直线l的方程．又原点(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，∴S△OEF＝×d×|EF|＝·＝2，解得k＝±，经检验当k＝±时方程(*)的判别式Δ＞0，9\n故所求直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y－2＝0.10．(文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．∴y0＝kx0＋m＝.由题意知AB⊥MN，∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，9\n即m＞－.∴m的取值范围是∪(4，＋∞)．9
