第1讲 机械振动\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、简谐运动1．简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向________，质点的运动就是简谐运动．(2)平衡位置：物体在振动过程中________为零的位置．(3)回复力①定义：使物体返回到________的力．②方向：总是指向________．③来源：属于_____力，可以是某一个力，也可以是几个力的_____或某个力的______．(4)简谐运动的特征①动力学特征：F回＝________．②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)．③能量特征：系统的机械能守恒、振幅A不变．平衡位置回复力平衡位置平衡位置效果合力分力－kx\n2．描述简谐运动的物理量物理量定义意义位移由________指向质点________的有向线段描述质点振动中某时刻的位置相对于________的位移振幅振动物体离开平衡位置的________描述振动的________和能量周期振动物体完成一次________所需时间描述振动的________，两者互为倒数：T＝________频率振动物体________内完成全振动的次数平衡位置所在位置平衡位置最大距离强弱全振动单位时间快慢\n二、简谐运动的公式和图象1．表达式(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”号表示回复力与位移的方向________．(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的________，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做________．相反快慢初相\n2．图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝________，图象如图甲所示．(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝________，图象如图乙所示．AsinωtAcosωt\n三、单摆、周期公式简谐运动的两种模型的比较：模型弹簧振子单摆简谐运动条件(1)弹簧质量可忽略(2)无摩擦等________(3)在弹簧弹性限度内(1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气阻力(3)最大摆角________回复力弹簧的________提供摆球________沿圆弧切线方向的分力平衡位置弹簧处于________处________点周期与________无关____________阻力很小弹力重力原长最低振幅T＝2π\n四、受迫振动和共振1．受迫振动(1)概念：系统在________的外力(驱动力)作用下的振动．(2)振动特征：受迫振动的频率等于________的频率，与系统的________无关．2．共振(1)概念：驱动力的频率等于系统的________时，受迫振动的振幅________的现象．(2)共振条件：驱动力的频率等于系统的________．(3)特征：共振时________最大．(4)共振曲线：如图所示．周期性驱动力固有频率固有频率最大固有频率振幅\n生活情境1.惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使钟摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示．(1)摆锤的运动是简谐运动．()(2)摆锤的运动是匀变速运动．()(3)摆锤运动的周期与小球的质量成反比．()(4)摆锤振动是受迫振动．()(5)摆锤振动的固有频率随摆的增长而变大．()(6)摆锤通过最低点时回复力为零，动能最大．()(7)摆锤通过最低点时合力为零，势能为零．()√××√×√×\n教材拓展2.[人教版选修3－4P17T3改编](多选)如图是两个单摆的振动图象，以下说法正确的是()A．甲、乙两个摆的振幅之比为2∶1B．甲、乙两个摆的频率之比为1∶2C．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2答案：AD\n3．[人教版选修3－4P21T4改编](多选)一单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法正确的是()A．此单摆的周期约为0.5sB．此单摆的摆长约为1mC．若摆长增加，共振曲线的峰将向左移动D．若把该单摆从福建移到北京，要使其固有频率不变，应增加摆长E．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振答案：BCD\n解析：单摆做受迫振动，振动频率与驱动力频率相等；当驱动力频率等于固有频率时，发生共振，由题图知固有频率为0.5Hz，周期为2s，故A错误；由公式T＝2π，可得L≈1m，故B正确；若摆长增加，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，C正确；该单摆从福建移到北京、重力加速度变大，要使其固有频率不变，需增加摆长，D正确；列车过桥时需减速，是为了使驱动力频率远小于桥的固有频率，防止桥发生共振，而不是防止列车发生共振，E错误．\n关键能力·分层突破\n考点一 简谐运动的规律简谐运动的五个特征受力特征回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大，在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为对称性特征关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等\n跟进训练1.[2022·陕西西安市联考](多选)下列关于简谐运动的说法正确的是()A．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同C．一个全振动指的是动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程D.位移减小时，加速度减小，速度增大E．物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同答案：ADE\n解析：速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，故A正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度方向可以与位移方向相同，也可以相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误，E正确；一次全振动过程中，动能和势能均会有两次恢复为原来的大小，故C错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度在减小，物体正在返回平衡位置，速度在增大，故D正确．\n2．(多选)一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s，则()A．弹簧振子的振幅为0.1mB．弹簧振子的周期为0.8sC．在t＝0.2s时，振子的运动速度最大D．在任意0.2s时间内，振子的位移均为0.1mE．在任意0.8s时间内，振子的路程均为0.4m答案：ABE\n解析：由y＝0.1sin2.5πt可知，弹簧振子的振幅为0.1m．选项A正确，弹簧振子的周期为T＝＝s＝0.8s，选项B正确；在t＝0.2s时，y＝0.1m，即振子到达最高点，此时振子的运动速度为零，选项C错误；只有从振子处于平衡位置或者最高点(或最低点)开始计时，经过＝0.2s，振子的位移才为A＝0.1m，选项D错误；在一个周期内，振子的路程等于振幅的4倍，即0.4m，选项E正确．\n3．(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为()A．0.53sB．1.4sC．1.6sD．2sE．3s答案：BDE\n解析：如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3s＋＝0.4s，解得T＝1.6s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2s．振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为＝s，故周期为T＝0.5s＋s≈0.53s，所以不正确选项为B、D、E.\n考点二 简谐运动图象的理解和应用根据简谐运动图象可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定．(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．\n跟进训练4.(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图象如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法正确的是()A．OB＝5cmB．第0.2s末质点的速度方向是A→OC．第0.4s末质点的加速度方向是A→OD．第0.7s末时质点位置在O点与A点之间E．在4s内完成5次全振动答案：ACE\n解析：由图(b)可知振幅为5cm，则OB＝OA＝5cm，A项正确；由图(a)(b)可知0～0.2s内质点从B向O运动，第0.2s末质点的速度方向是B→O，B项错误；由图(a)(b)可知第0.4s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C项正确；由图(a)(b)可知第0.7s末时质点位置在O点与B点之间，D项错误；由图(b)可知周期T＝0.8s，则在4s内完成全振动的次数为＝5，E项正确．\n5．(多选)图1是顶部垂下一个大铁球的挖掘机，让它小角度的摆动，即可用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图象如图2所示，则下列说法正确的是()A．单摆振动的周期是6sB．单摆振动的周期是8sC．t＝2s时，摆球的速度最大D．球摆开的角度增大，周期越大E．该单摆的摆长约为16m解析：由图象知，单摆的周期为8s，A错误，B正确；t＝2s时，摆球位于平衡位置，速度最大，C正确；根据单摆周期公式T＝2π，周期与摆角无关，D错误；代入T＝2π得摆长l≈16m，E正确．答案：BCE\n6．如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止．现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T.经时间，小球从最低点向上运动的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最小”)．小于最大\n解析：小球从最低点向上运动至平衡位置的过程中，做速度越来越大的加速运动，总时间为，总位移为A，则前的位移小于；在时刻，小球到达平衡位置，此时速度最大，动能最大．\n考点三 用单摆测定重力加速度1．实验原理与操作\n2．数据处理与分析(1)数据处理①公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再算出g的平均值．②图象法：作出l－T2图象求g值．(2)误差分析产生原因减小方法偶然误差测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差①多次测量再求平均值②计时从单摆经过平衡位置时开始系统误差主要来源于单摆模型本身①摆球要选体积小，密度大的②最大摆角要小于5°\n例.居家防疫期间，小明在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验．如图1他找到了一块外形不规则的小石块代替摆球，设计的实验步骤是：A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点；B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长；C．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放；D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T＝得出周期；E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T；F．根据公式g＝l，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果．\n(1)小石块摆动的过程中，充当回复力的是________．A．重力B．拉力C．拉力沿水平方向的分力D．重力沿圆弧切线方向的分力(2)为使测量更加准确，步骤D中，小明应从__________(选填“最大位移”或“平衡位置”)处开始计时．(3)小明用ON的长l为摆长，利用公式g＝l求出的重力加速度的测量值比真实值________(选填“偏大”或“偏小”)．(4)小红利用小明测出的多组摆长l和周期T的值，作出T2l图线如图2所示，通过测量计算出图线的斜率为k；由斜率k求重力加速度的表达式是g＝________．D平衡位置偏小\n解析：(1)石块做简谐运动时重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，故D正确，A、B、C错误．(2)石块经过平衡位置时速度最大，在石块经过平衡位置时开始计时可以减小周期测量的实验误差．(3)摆线悬点到石块重心的距离是单摆摆长，摆线长度l小于单摆摆长L，由g＝l可知，用ON的长l为摆长，重力加速度的测量值比真实值偏小．(4)设N到石块重心的距离为r，单摆摆长L＝l＋r，由单摆周期公式T＝2π可知：T2＝L＋，由图示T2l图象可知，图象的斜率k＝，重力加速度g＝.\n(5)在步骤F中，有同学认为可以先将多次测量的摆长l取平均值得到.周期T取平均值得到，再代入公式g＝l，得到重力加速度g的测量结果，你认为这种做法是否正确并说明理由．\n解析：这种做法是错误的；由单摆周期公式T＝2π可知，摆长L与周期T间不是一次函数关系，不能求出L的平均值和T的平均值，再代入公式g＝L，求出重力加速度．\n跟进训练7.利用单摆测当地重力加速度的实验中．(1)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径d＝________cm.解析：小球的直径d＝22mm＋0.1mm×5＝22.5mm＝2.25cm.2.25\n(2)某同学测量数据如下表，请在图乙中画出图象．由图象可得重力加速度g＝________m/s2(保留三位有效数字)．L/m0.4000.5000.6000.8001.200T2/s21.602.102.403.204.809.86\n解析：LT2图象如图所示：由T＝2π可得L＝T2，由图象可得k＝＝0.25＝可解得g＝4π2k≈9.86m/s2.\n(3)某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图象可能是下列图象中的________．解析：在实验中，若摆长没有加小球的半径，其他操作无误，可得L＝T2－.故可知B正确，A、C、D均错误．B\n考点四 受迫振动与共振的应用自由振动、受迫振动和共振的关系比较振动类型自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力作用受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(摆角θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等\n跟进训练8.(多选)下列说法正确的是()A．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确B．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频C．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象D．部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌E．较弱声音可振碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振答案：BDE\n解析：摆钟走时快了，说明摆钟的周期变小了，根据T＝2π可知增大摆长L可以增大摆钟的周期，A错误；挑水时为了防止水从桶中荡出，可以改变走路的步频，B正确；在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是受迫振动，C错误；部队便步通过桥梁，不能产生较强的驱动力，就避免桥梁发生共振现象，故D正确；当声音频率等于玻璃杯频率时，杯子发生共振而破碎，E正确．\n9．(多选)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长．当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来．图乙是c摆稳定以后的振动图象，重力加速度为g，不计空气阻力，则()A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc<TbB．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大C．达到稳定时b摆的振幅最大D．由图乙可知，此时b摆的周期小于t0E．a摆的摆长为答案：ABE\n解析：由单摆周期公式T＝2π，知固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅最小，故B正确，C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故b摆的周期等于t0，故D错误；a摆的周期为t0，由T＝2π，解得L＝，故E正确．
