第1讲 机械振动\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、简谐运动1．简谐运动(1)定义：如果物体的位移与________的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动．(2)条件：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成________，并且总是指向____________，质点的运动就是简谐运动．时间正比平衡位置\n(3)平衡位置：如图所示，平衡位置是物体在振动过程中________为零的位置，并不一定是______为零的位置．(4)回复力：①定义：使物体返回到_________的力．②方向：总是指向_________．③来源：属于________力，可以是某一个力，也可以是几个力的________或某个力的________．(5)简谐运动的特征①动力学特征：F回＝________．②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生________变化(注意v、a的变化趋势相反)．③能量特征：系统的机械能________，振幅A________．回复力合力平衡位置平衡位置效果合力分力－kx周期性守恒不变\n2．简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆示意图简谐运动条件(1)弹簧质量可忽略(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内(1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气等阻力(3)最大摆角小于________5°\n模型弹簧振子单摆回复力弹簧的________提供摆球________沿与摆线垂直(即切线)方向的分力平衡位置弹簧处于________处最________点周期与振幅________T＝2π能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能________重力势能与动能的相互转化，机械能________弹力重力原长低无关守恒守恒\n二、简谐运动的公式和图像1．表达式(1)动力学表达式：F＝________，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．(2)运动学表达式：x＝_____________，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作________．2．图像(1)从____________开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图像如图甲所示．(2)从__________处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图像如图乙所示．－kxAsin(ωt＋φ0)初相平衡位置最大位移\n三、受迫振动和共振1．受迫振动：系统在__________作用下的振动．受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与系统的固有频率________．物体做受迫振动的频率一定等于________的频率，但不一定等于系统的________频率，固有频率由系统本身决定．2．共振：驱动力的频率与系统的固有频率________时，受迫振动的振幅达到最大，这种现象叫作共振．共振曲线如图所示．驱动力无关驱动力固有相等\n【生活情境】1.惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使钟摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示．(1)摆锤的运动是简谐运动．()(2)摆锤的运动是匀变速运动．()(3)摆锤运动的周期与小球的质量成反比．()(4)摆锤振动是受迫振动．()(5)摆锤振动的固有频率随摆的增长而变大．()(6)摆锤通过最低点时回复力为零，动能最大．()(7)摆锤通过最低点时合力为零，势能为零．()√××√×√×\n【教材拓展】2.[人教版选择性必修第一册P45的《做一做》改编]如图所示是描绘沙摆振动图像的实验装置和木板上留下的实验结果．沙摆的运动可看作简谐运动．若用手向外拉木板的速度是0.20m/s，木板的长度是0.60m，那么下列说法中正确的是()A．该沙摆的周期为3sB．该沙摆的频率为1.5HzC．这次实验所用的沙摆的摆长约为56cmD．这次实验所用的沙摆的摆长约为1.5m答案：C\n解析：木板水平匀速运动，运动时间为t＝＝s＝3s，设沙摆的周期为T，由图看出2T＝t，得T＝1.5s，频率为f＝＝Hz＝Hz，故A、B错误；由单摆的周期T＝2π，得沙摆的摆长l＝＝m≈0.56m＝56cm，C正确，D错误．\n关键能力·分层突破\n考点一 简谐运动的规律简谐运动的重要特征受力特征回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向与力的方向相反运动特征靠近平衡位置时，物体的a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大，在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为对称性特征关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O用时相等\n例1关于简谐运动以及完成一次全振动的意义，以下说法正确的是()A．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同B．动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程为一次全振动C．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动D．物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相同；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相反答案：C\n解析：回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故A、D错误；一次全振动过程中，动能和势能可以多次恢复为原来的大小，故B错误；速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，故C正确．\n【跟进训练】1．(多选)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2s内经过的路程为0.4m．该弹簧振子的()A．周期为2sB．周期为4sC．振幅为0.2mD．振幅为0.4m答案：BC解析：根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，2s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为T＝2t＝4s，从A到B经过了半个周期的振动，路程为s＝0.4m，而一个完整的周期路程为0.8m，为4个振幅的路程，有4A＝0.8m，解得振幅为A＝0.2m.\n2．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点()A．7sB．14sC．16sD．s答案：C解析：由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2)s＝20s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4)s＝16s，故C选项正确．\n[思维方法]分析简谐运动的技巧1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．另外，各矢量均在其值为零时改变方向．2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性．3．求解简谐运动问题紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，头脑中呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解．\n考点二 简谐运动的公式和图像根据简谐运动图像可获取的信息(1)振幅A、周期T、(或频率f)和初相位φ(如图所示)．(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．\n(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移相对上一时刻位移的变化来确定．(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．\n角度1简谐运动图像的理解和应用例2[2021·房山区模拟]某质点做简谐运动的振动图像如图所示，则()A．t＝0.2s时，质点的速度方向向上B．0.2～0.4s内质点的速度一直减小C．t＝0.2s时，质点的加速度方向向下D．0.2～0.4s内质点的加速度一直增大答案：C解析：在t＝0.2s时，质点位于最大位置处，故它的速度为0，故A错误；在0.2～0.4s内质点在由最大位置处向平衡位置移动，故它的速度在增大，故B错误；在t＝0.2s时，质点在最大位置处，受到指向平衡位置的力，即向下的力，所以它的加速度方向是向下的，故C正确；在0.2～0.4s内质点的加速度一直减小，故D错误．\n角度2简谐运动公式的应用例3(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin(10πt＋)cm.下列说法正确的是()A．MN间距离为5cmB．振子的运动周期是0.2sC．t＝0时，振子位于N点D．t＝0.05s时，振子具有最大加速度答案：BC\n解析：MN间距离为2A＝10cm，故A错误；因ω＝10πrad/s，可知振子的运动周期是T＝＝s＝0.2s，故B正确；由x＝5sin(10πt＋)cm可知t＝0时，x＝5cm，即振子位于N点，故C正确；由x＝5sin(10πt＋)cm可知t＝0.05s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，故D错误．\n【跟进训练】3．[2022·山东枣庄模拟](多选)装有砂粒的试管竖直静浮于水面．如图所示，现将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，若取竖直向上为正方向，则以下描述试管的位移、速度随时间变化的图像正确的是()答案：AD\n解析：装有砂粒的试管竖直静浮于水面，重力等于浮力，此时试管所处的位置即为平衡位置．现将试管竖直提起少许，则有重力大于浮力，由静止释放并开始计时，试管向下做加速度减小的加速运动，到平衡位置速度最大，由于题目中是取竖直向上为正方向，故试管刚开始速度为零，第一次到达平衡位置速度为负的最大值，故A正确，B错误；根据上面的分析，在t＝0时，试管处于平衡位置的上方最高点，所以位移为正的最大值，经四分之一个周期到达平衡位置，位移随时间按余弦规律变化，故C错误，D正确．\n4.(多选)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止．现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T.则()A.经时间，小球从最低点向上运动的距离大于B．经时间，小球从最低点向上运动的距离小于C．在时刻，小球的动能最大D．在时刻，小球的动能最小答案：BC\n解析：根据简谐振动的位移公式y＝－Acos，则t＝时有y＝－Asin＝－A，所以小球从最低点向上运动的距离为Δy＝A－A＝A<A，则小球从最低点向上运动的距离小于，故选项B正确；在t＝时，小球回到平衡位置，具有最大的振动速度，所以小球的动能最大，故选项C正确．\n考点三 单摆模型及周期公式1．单摆的受力特征(1)回复力：摆球重力沿圆弧切线方向上的分力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反．(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ.(3)两点说明：①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθ.②当摆球在最低点时，F向＝最大，FT＝.2.周期公式T＝2π的两点说明(1)l为摆长，表示从悬点到摆球重心的距离．(2)g为当地重力加速度．\n例4(多选)图1是顶部垂下一个大铁球的挖掘机，让它小角度的摆动，即可用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图2所示，则下列说法正确的是()A．单摆振动的周期是6sB．t＝2s时，摆球的速度最大C．球摆开的角度增大，周期越大D．该单摆的摆长约为16m答案：BD解析：由图像知，单摆的周期为8s，A错误；t＝2s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2π，周期与质量无关，C错误；代入T＝2π得摆长l≈16m，D正确．\n【跟进训练】5.做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的()A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变答案：C解析：由单摆的周期公式T＝2π，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，据动能公式可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，但质量减小，所以上升的高度增加，因此振幅改变，故C正确．\n6．如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的xt关系的是()答案：A\n解析：由T＝2π得：T1＝2π，T2＝2π＝π＝T1，故B、D错误；x1＝lsinθ1＝2lsincos，x2＝sinθ2＝2×sincos，由于θ1、θ2约为2°，所以cos≈1，cos≈1，故x1＝≈2lsin，x2＝sinθ2≈2×sin＝＝，由能量守恒定律可知，小球先后摆起的最大高度相同，故l－lcosθ1＝·cosθ2，根据半角公式sin2＝可得：sin＝2sin，故＝＝2，即第一次振幅是第二次振幅的2倍，故A正确，C错误．\n考点四 受迫振动和共振1．简谐运动、受迫振动和共振的比较2.受迫振动中系统能量的转化做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．项目振动简谐运动受迫振动共振受力情况受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动系统的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等\n例5[2021·浙江1月，15](多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则()A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同答案：AD\n解析：根据发生共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击杆对不同粗细的树干打击结束后，树干按固有频率振动，所以树干的振动频率不一定相同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以稳定后，不同粗细的树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确．\n命题分析试题情境属于基础性题目，以采摘松果为素材创设生活实践问题情境必备知识考查受迫振动的频率与驱动力的频率的关系、固有频率和共振条件等关键能力考查理解能力、推理判断能力．由驱动力频率的变化判断松树振动的振幅学科素养考查运动观与相互作用观念、科学推理．要求考生明确共振产生的条件，进而得出受迫振动的频率\n【跟进训练】7．[2022·漳州模拟]为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速的目的．一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应．如果某路面上的减速带的间距为1.5m，一辆固有频率为2Hz的汽车匀速驶过，这排减速带，下列说法正确的是()A.当汽车以5m/s的速度行驶时，其振动频率为2HzB．当汽车以3m/s的速度行驶时颠簸的最厉害C．当汽车以3m/s的速度行驶时最不颠簸D．汽车速度越大，颠簸的就越厉害答案：B\n解析：当汽车以5m/s的速度行驶时，其振动频率为f＝＝Hz＝Hz，故A错误；由T＝可知，汽车的固有周期为T＝0.5s，则汽车的速度v＝＝＝3m/s，即当速度为3m/s时，汽车达到共振颠簸的最厉害，故C、D错误，B正确．\n8．(多选)如图甲所示在一条张紧的绳子上挂三个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长．当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来．图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则()A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc<TbB．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大C．达到稳定时b摆的振幅最大D．由图乙可知，此时b摆的周期Tb小于t0答案：AB\n解析：根据单摆的周期公式T＝2π可知，la＝lc<lb，所以a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc<Tb，故A正确；a摆摆动起来后，通过水平绳子对b、c两个摆施加周期性的驱动力，使b、c两个摆做受迫振动，由于a摆提供的驱动力的周期和c摆的固有周期相同，所以c摆发生了共振，c摆的振幅是最大的，故B正确，C错误；b、c两摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，都等于a摆的频率，则两摆的周期相同，都等于a摆的周期，因为Tc＝t0，所以b摆和a摆的周期都为t0，故D错误．
