第4讲 万有引力与航天\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的________相等．3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的________的二次方的比都相等，表达式：＝k.椭圆焦点面积公转周期\n二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的________成正比、与它们之间距离r的________成反比．2．表达式：F＝G，G为引力常量，其值通常取G＝6.67×10－11________．3．适用条件：(1)公式适用于________间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球________间的距离．乘积二次方N·m2/kg2质点球心\n三、宇宙速度1．第一宇宙速度：(1)第一宇宙速度又叫________速度，其数值为________km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在________附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小______速度，也是人造卫星的最大______速度．环绕7.9地球发射环绕\n(4)第一宇宙速度的两种计算方法①由G＝m得v＝；②由mg＝m得v＝.2．第二宇宙速度：使物体挣脱______引力束缚的最小发射速度，其数值为______km/s.3．第三宇宙速度：使物体挣脱______引力束缚的最小发射速度，其数值为______km/s.地球11.2太阳16.7\n【科技情境】1.我国的“天链一号”是地球同步卫星，在发射变轨过程中有一椭圆轨道如图所示，A，B是“天链一号”运动的远地点和近地点．\n(1)根据开普勒第一定律，“天链一号”围绕地球运动的轨迹是椭圆，地球处于椭圆的一个焦点上．()(2)根据开普勒第二定律，“天链一号”在B点的运动速度比在A点小．()(3)“天链一号”在A点的加速度小于在B点的加速度．()(4)开普勒第三定律＝k中，k是只与中心天体有关的物理量．()(5)开普勒根据自己长期观察的实验数据总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律．()√×√√×\n【教材拓展】2.[人教版必修第二册P64T4改编]火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为()A．vB．vC．vD．v答案：A解析：由＝求得第一宇宙速度v＝，故＝＝，所以v火＝v，故A正确．\n关键能力·分层突破\n考点一 万有引力定律与开普勒定律1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如右图所示．(1)在赤道处：G＝mg1＋mω2R(2)在两极处：G＝mg2.\n2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝.(2)在地球上空距离地球表面h处的重力加速度g′：mg′＝G，得g′＝，所以＝.\n例1[2021·全国甲卷，18]2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m．已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105mB．6×106mC．6×107mD．6×108m答案：C\n解析：设火星的半径为R1，表面的重力加速度为g1，质量为m1的物体绕火星表面飞行的周期为T1，则有R1＝m1g1，设椭圆停泊轨道与火星表面的最近、最远距离分别为h1、h2，停泊轨道周期为T2，根据开普勒第三定律有＝，代入数据解得h2＝－2R1－h1≈6×107m，故选项A、B、D错误，选项C正确．\n命题分析试题情境属于基础应用性题目，以“天问一号”为素材创设学习探索问题情境必备知识考查万有引力定律，开普勒定律的应用关键能力考查模型建构能力、推理能力．由“天问一号”的运动建构匀速圆周运动模型学科素养考查科学思维，要求考生综合万有引力定律和开普勒第三定律解决问题\n【跟进训练】1．[2021·山东卷，5]从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1B．9∶2C．36∶1D．72∶1答案：B\n解析：悬停时二力平衡，即F＝G∝，得＝＝＝，B项正确．\n2．2020年10月6日，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将2020年诺贝尔物理学奖的一半授予雷因哈德·根泽尔(ReinhardGenzel)和安德里亚·格兹(AndreaGhez)，以表彰他们“发现了宇宙中最奇特的现象之一——黑洞”．若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c＝3×108m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度约为()A．1014m/s2B．1012m/s2C．108m/s2D．1010m/s2答案：B\n解析：黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于该物体与天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g0，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有＝mg0，又有＝，联立解得g0＝，代入数据得重力加速度约为1012m/s2，故选项B正确．\n考点二 天体质量和密度的估算1．计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．\n2．天体质量和密度的估算方法(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.①由G＝mg得天体质量M＝.②天体密度ρ＝＝＝.③GM＝gR2称为黄金代换公式．(2)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r.①由G＝mr得天体的质量M＝.②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.\n例2[2021·广东卷，2]2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行．若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径答案：D\n解析：根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得＝m，解得M＝，D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由＝mω2r得M＝，且ω＝，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误．\n命题分析试题情境属于基础性题目，以空间站“天和”核心舱发射为素材创设学习探索问题情境必备知识考查万有引力定律和匀速圆周运动的相关知识关键能力考查模型建构、推理论证能力．即由万有引力提供向心力推理论证得出结论学科素养考查运动观念和相互作用观念．要求考生理解并利用万有引力定律分析航天类问题\n【跟进训练】3．如图所示，“嫦娥五号”探测器包括轨道器、返回器、上升器、着陆器四部分．探测器自动完成月面样品采集，并在2020年12月17日凌晨安全着陆回家．若已知月球半径为R，“嫦娥五号”在距月球表面为R的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是()A．月球的质量为B．月球表面的重力加速度为C．月球的密度为D．月球第一宇宙速度为答案：B\n解析：“嫦娥五号”探测器在距月球表面为R的轨道上运行，万有引力提供向心力，有G＝m2R，得月球质量为M＝，A错误；月球密度ρ＝＝＝，C错误；对月球表面的物体m′，有G＝m′g，得月球表面的重力加速度g＝＝，B正确；设月球第一宇宙速度为v，则G＝m，得v＝＝，D错误．\n4．[2021·全国乙卷，18]科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A．4×104MB．4×106MC．4×108MD．4×1010M答案：B\n解析：由1994年到2002年间恒星S2的观测位置图可知，恒星S2绕黑洞运动的周期大约为T2＝16年，半长轴为a＝1000AU，设黑洞的质量为M黑，恒星S2质量为m2，由万有引力提供向心力可得G＝m2a()2；设地球质量为m1，地球绕太阳运动的轨道半径为r＝1AU，周期T1＝1年，由万有引力提供向心力可得G＝m1r()2，联立解得黑洞质量M黑≈4×106M，选项B正确．\n考点三 卫星运行规律及特点角度1宇宙速度例3我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案：A\n解析：当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；万有引力提供向心力，则有＝，解得第一宇宙速度为v1＝，所以火星的第一宇宙速度为v火＝v地＝v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝＝g地＝g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．故选A.\n角度2卫星运行参量的比较做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供其所需向心力，由G＝m＝mrω2＝mr＝ma可推导出：⇒当r增大时⇒\n例4[2021·湖南卷，7](多选)2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道．根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造．核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的，下列说法正确的是()A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的()2B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/sC．核心舱在轨道上飞行的周期小于24hD．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小答案：AC\n解析：根据万有引力公式F＝可知，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小与轨道半径的平方成反比，则核心舱进入轨道后所受地球的万有引力与它在地面时所受地球的万有引力之比＝，解得F′＝F地，A正确；根据＝可得，v＝＝7.9km/s，而核心舱轨道半径r大于地球半径R，所以核心舱在轨道上飞行的速度一定小于7.9km/s，B错误；由＝mr得绕地球做圆周运动的周期T与成正比，核心舱的轨道半径比同步卫星的小，故核心舱在轨道上飞行的周期小于24h，C正确；根据G＝m可知空间站的轨道半径与空间站的质量无关，故后续加挂实验舱后，轨道半径不变，D错误．\n命题分析试题情境属于基础性题目，以空间站“天和”核心舱发射为素材创设学习探索问题情境必备知识考查万有引力定律和匀速圆周运动及卫星变轨的相关知识关键能力考查模型建构、推理论证能力．即由万有引力提供向心力推理论证得出结论学科素养考查运动观念和相互作用观念．要求考生理解并利用万有引力定律分析航天类问题\n角度3同步卫星问题地球同步卫星的五个“一定”\n例5(多选)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第55颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成．北斗导航系统第41颗卫星为地球同步轨道卫星，第49颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星，它们的轨道半径约为4.2×107m，运行周期都等于地球的自转周期24h．倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示．已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，下列说法正确的是()A．根据题目数据可估算出地球的质量B．地球同步轨道卫星可能经过北京上空C．倾斜地球同步轨道卫星一天2次经过赤道正上方同一位置D．倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度答案：AC\n解析：根据＝m()2r，可得M＝，可估算出地球的质量，A正确；由于地球同步轨道卫星相对地面静止，因此一定自西向东运动，且轨道的圆心一定在地心上，故地球同步轨道卫星一定在地球赤道的正上方，不可能运动到北京上空，B错误；倾斜地球同步轨道卫星若某时刻经过赤道正上方某位置，经过半个周期，恰好地球也转了半个周期，因此又会经过赤道上方的同一位置，C正确；根据＝，可得v＝，由于轨道半径越大，运动速度越小，第一宇宙速度是贴近地球表面运动的卫星的速度，倾斜地球同步轨道卫星的运动速度小于第一宇宙速度，D错误．故选AC.\n角度4卫星变轨问题例62020年5月12日9时16分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭以“一箭双星”方式，将“行云二号”01星(武汉号)和“行云二号”02星两颗卫星送入预定轨道，发射任务取得成功，此次发射的“行云二号”01星命名为“行云·武汉号”，并通过在箭体上涂刷“英雄武汉 伟大中国”，画上了“致敬医护工作者群像”，致敬英雄的城市、英雄的人民和广大医护工作者！若“行云·武汉号”在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于“行云·武汉号”的运动。\n下列说法中正确的是()A．经过A的速度大于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期等于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度答案：B解析：根据开普勒第二定律可知，近地点速度大于远地点速度，故A错误；“行云·武汉号”从轨道Ⅱ上A点需要加速才能在轨道Ⅰ上运动，所以在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能，故B正确；根据开普勒第三定律有＝k，由于(半长轴)RⅡ<RⅠ，所以“行云·武汉号”在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，故C错误；根据万有引力提供向心力有G＝ma，解得a＝，则“行云·武汉号”在轨道Ⅱ上经过A的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A的加速度，故D错误．\n[思维方法]人造卫星问题的解题技巧(1)一个模型卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．(2)两组公式①G＝m＝mω2r＝mr＝man.②mg＝G(g为星体表面处的重力加速度)．(3)an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较最终归结到半径的比较．\n【跟进训练】5.2020年12月1日，“嫦娥五号”在月球最大的月海风暴洋北缘的吕姆克山附近登陆，采集到月球土壤样品后，又完成封装、月面起飞、月球轨道交会对接和样品转移、返回地球等11个阶段的使命任务，成功带回地球供科学家研究．“嫦娥五号”从月球返回时，先绕月球做圆周运动，再变轨返回地球．已知月球半径为R，引力常量为月球表面重力加速度为g.\n下列说法正确的是()A．“嫦娥五号”在绕月球做匀速圆周运动时处于超重状态B．“嫦娥五号”在返回地球的过程中机械能守恒C．“嫦娥五号”在绕着月球做匀速圆周运动时，速度大于D．月球的平均密度为ρ＝答案：D\n解析：本题考查万有引力与航天．“嫦娥五号”在绕月球做匀速圆周运动时处于失重状态，A错误；“嫦娥五号”在返回地球的过程中，除万有引力做功外，发动机要对“嫦娥五号”做功，“嫦娥五号”的机械能不守恒，B错误；设月球的质量为M，“嫦娥五号”绕月球做圆周运动时的轨道半径为r，线速度为v，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝m，月球表面的物体受到的重力近似等于万有引力，即m′g＝G，解得v＝＜，C错误，由C项分析有GM＝gR2，月球的平均密度ρ＝，解得ρ＝，D正确．\n6．[2021·浙江卷6月，10]空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化．空间站安装有发动机，可对轨道进行修正．图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站()A．绕地运行速度约为2.0km/sB．绕地运行速度约为8.0km/sC．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒答案：D\n解析：设空间站离地面高度为h，空间站在运行过程中万有引力提供其做圆周运动的向心力，有G＝m，则运行速度v＝，由题图可知卫星绕地球做离地高约420km左右的近地轨道运动，故环绕速度略小于第一宇宙速度7.9km/s，A、B错误；4月份中某时刻轨道高度突然减小，是由于受到了外层大气稀薄空气的影响，机械能减小，C错误；5月中轨道半径基本不变，故机械能可视为守恒，D正确．\n考点四 双星或多星模型模型建构——核心素养提升1．模型特征(1)多星系统的条件①各星彼此相距较近②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．\n(2)多星系统的结构类型双星模型三星模型结构图向心力由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供运动参量两星转动方向相同，周期、角速度相等\n例7[2021·潍坊模拟](多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是()A．它们间的万有引力大小变大B．它们间的万有引力大小不变C．恒星做圆周运动的线速度变大D．恒星做圆周运动的角速度变大答案：AC\n解析：设质量较大的恒星为M1，质量较小的黑洞为M2，则两者之间的万有引力为F＝G，由数学知识可知，当M1＝M2时，M1·M2有最大值，根据题意可知质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，因此万有引力变大，故A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，即G＝M1ω2R1＝M1R1，G＝M2ω2R2＝，解得两天体质量表达式为M1＝R2＝R2，M2＝R1＝R1，两天体总质量表达式为M1＋M2＝＝，两天体的总质量不变，两天体之间的距离L不变，因此天体的周期T和角速度ω也不变，质量较小的黑洞M2的质量增大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据v＝可知，恒星的线速度增大．故C正确，D错误．\n【跟进训练】7.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是()A．两颗恒星相距B．恒星A与恒星B的向心力之比为3∶1C．恒星A与恒星B的线速度之比为1∶3D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1答案：A\n解析：两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝3MrB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，选项B、D错误；设两恒星相距为L，即rA＋rB＝L，则有＝G，解得L＝，选项A正确；由v＝r可得恒星A与恒星B的线速度之比为3∶1，选项C错误．\n8．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M的星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R，并绕其中心O做匀速圆周运动．如果忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法中正确的是()A．每颗星做圆周运动的角速度为3B．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关C．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则角速度变为原来的2倍D．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则线速度大小不变答案：D\n解析：任意两星之间的万有引力为F0＝G，则任意一星所受合力为F＝2F0cos30°＝2×G＝G，任意一星运动的轨道半径r＝Rcos30°＝×R×＝R，万有引力提供向心力，有F＝G＝Mω2r，解得每颗星做圆周运动的角速度ω＝＝，A错误；万有引力提供向心力，有F＝G＝Ma，解得a＝，则每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量有关，B错误；\n根据题意可知ω′＝＝＝ω，C错误；根据线速度与角速度的关系可知变化前线速度为v＝ωr＝·R＝，则变化后为v′＝＝v，D正确．
