第4讲万有引力与航天1.图4－4－4三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC.假设在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图4－4－4所示．那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是( )答案：C2．(2022·全国Ⅰ，19)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( ) A．1.8×103kg/m3B．5.6×103kg/m3C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3解析：近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝m2R，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3解两式得：ρ＝≈5.60×103kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的25/4.7倍，即ρ＝5.60×103×kg/m3＝2.9×104kg/m3.答案：D3．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球外表和地球外表围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，那么( )A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R∶rB．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1∶1C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1∶1D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R∶r解析：由F＝G和M＝ρπR3可得万有引力F＝GπRmρ，又由牛顿第二定律F＝ma可得，A正确．卫星绕星球外表做匀速圆周运动时，万有引力等于向心力，因此B错误．由F＝GπRmρ，F＝m可得，选项C错误．由F＝GπRmρ，F＝mR可知，周期之比为1∶1，故D错误．答案：A4.7/7\n图4－4－5为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2022年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星经过一年多的绕月运行，完成了既定任务，于2022年3月1日16时13分成功撞月．如图4－4－5为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点①开场进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的选项是( )A．可以求出月球外表的重力加速度B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力C．“嫦娥一号”卫星在控制点①处应减速D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2km/s解析：根据G＝m2R，已知卫星的T、R和引力常量G，可以求月球的质量m1；因为不知道“嫦娥一号”卫星的质量，故无法知道月球对“嫦娥一号”卫星的引力，B项错误；在控制点①，卫星要做向心运动，故需要减速，C项正确；11.2km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力的束缚成为太阳的人造行星的最小发射速度，而“嫦娥一号”卫星并不能脱离地球引力的范围，故其发射速度小于11.2km/s，D项错误．答案：C5.图4－4－6神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者的连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4－4－6所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．解析：(1)由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可得r1/r2＝m2/m1，又由G＝G，可解得：m′＝.(2)由v＝，得r1＝，再由G＝m1可得：G＝.答案：(1)m′＝ (2)G＝7/7\n1．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道( )A．与地球外表上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆B．与地球外表上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C．与地球外表上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球外表是静止的D．与地球外表上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球外表是运动的解析：人造卫星绕地球做圆周运动所需的向心力是万有引力提供的，人造卫星受地球的引力一定指向地心，所以任何人造卫星的稳定轨道平面都是通过地心的．A选项所述的卫星不能满足这个条件，A错．B选项所述的卫星虽然满足这个条件，但是由于地球在自转，经线所决定的平面也在转动，这样的卫星又不可能有与地球自转同方向的速度，所以不可能始终在某一经线所决定的平面内，如以下图，故B项也错．无论上下如何，轨道平面与地球赤道平面重合的卫星都是存在的，C选项所述卫星就是地球同步卫星，而D项所述卫星不是同步卫星，故C、D项都对．答案：CD2．据报道，2022年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2022HC82.该小行星绕太阳一周的时间为T年，直径2～3千米，而地球与太阳之间的距离为R0.如果该行星与地球一样，绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，那么小行星绕太阳运动的半径约为( )A．R0B．R0C．R0 D．R0解析：小行星和地球绕太阳做圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有＝m22R，可知小行星绕太阳运行轨道半径为R＝R0 ＝R0 ，A正确．答案：A3.图4－4－72022年9月27日16时40分，我国航天员翟志刚翻开“神舟”七号载人飞船轨道舱舱门，首度实施空间出舱活动，在茫茫太空第一次留下中国人的足迹(如图4－4－7所示)．翟志刚出舱时，“神舟”七号的运行轨道可认为是圆周轨道．以下关于翟志刚出舱活动的说法正确的选项是( )A．假设翟志刚握着哑铃，肯定比举着五星红旗费力B．假设翟志刚自由离开“神舟”七号，他将在同一轨道上运行C．假设没有平安绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，他将可能沿竖直线自由落向地球D．假设“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚在上面行走的步幅将比在地面上大解析：“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，受到的万有引力提供向心力，A错B对；假设没有平安绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，将使他对地的速度减小，翟志刚将在较低轨道运动，C错误；由于“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，就算“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚也几乎不能行走，D错误．答案：B4.7/7\n图4－4－8在美国东部时间2022年2月10日上午11时55分(北京时间11日0时55分)，美国一颗质量约为560kg的商用通信卫星“铱33”与俄罗斯一颗已经报废的质量约为900kg军用通信卫星“宇宙2251”相撞，碰撞发生的地点在俄罗斯西伯利亚上空，同时位于国际空间站轨道上方434千米的轨道上，如图4－4－8所示．如果将卫星和空间站的轨道都近似看做圆形，那么在相撞前一瞬间以下说法正确的选项是( )A．“铱33”卫星比“宇宙2251”卫星的周期大B．“铱33”卫星比国际空间站的运行速度大C．“铱33”卫星的运行速度大于第一宇宙速度D．“宇宙2251”卫星比国际空间站的角速度小解析：由题意知两卫星的轨道半径相等且大于空间站的轨道半径，故A项错．又v＝，所以“铱33”卫星的运行速度小于空间站的运行速度，第一宇宙速度为地球外表卫星的最大运行速度，故B、C均错．由ω＝可知，半径越小，ω越大，故D正确．答案：D5．(2022·杭州七校联考)一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球外表处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，以下说法中正确的选项是( )A．g′＝0B．g′＝gC．FN＝0D．FN＝mg解析：做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故FN＝0，C正确，D错误；对地球外表的物体，＝mg，宇宙飞船所在处，＝mg′，可得：g′＝g，A错误，B正确．答案：BC6．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其外表飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的选项是( )A．天体A、B的质量一定不相等B．两颗卫星的线速度一定相等C．天体A、B外表的重力加速度之比等于它们的半径之比D．天体A、B的密度一定相等解析：假设某行星有卫星绕其外表旋转，万有引力提供向心力，可得G＝mR，那么该行星的平均密度为ρ＝＝＝卫星的环绕速度v＝，外表的重力加速度g＝G＝G·，所以正确答案是CD.答案：CD7．2022年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功.9月27日翟志刚成功实施了太空行走．如果“神舟七号”飞船在离地球外表h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知地球的半径R，万有引力常量为G.在该轨道上，“7/7\n神舟七号”航天飞船( )A．运行的线速度大小为B．运行的线速度小于第一宇宙速度C．运行时的向心加速度大小为D．地球外表的重力加速度大小可表示为解析：此题考察天体运动和万有引力定律的应用．由于飞船的轨道半径为R＋h，故A项错误；第一宇宙速度是环绕的最大速度，所以飞船运行的速度小于第一宇宙速度，B项正确；运行的向心加速度为a＝，C项正确；在地球外表mg＝G，对飞船G＝m(R＋h)，所以地球外表的重力加速度g＝，D项正确．答案：BCD8.图4－4－92022年9月我国成功发射“神舟七号”载人航天飞船．如图4－4－9为“神舟七号”绕地球飞行时的电视直播画面，图中数据显示，飞船距地面的高度约为地球半径的.已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，大西洋星距地面的高度约为地球半径的6倍．设飞船、大西洋星绕地球均做匀速圆周运动．那么( )A．“神舟七号”飞船在轨运行的加速度为0.91g B．“神舟七号”飞船在轨运行的速度为C．大西洋星在轨运行的角速度为 D．大西洋星在轨运行的周期为2π 解析：“神舟七号”飞船在轨运行时，由牛顿第二定律得＝m1a＝m1，h＝，由物体在地球外表受到的万有引力近似等于物体重力得：GM＝gR2，所以有a＝g＝0.91g，v＝，故A正确．大西洋星绕地球做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律得＝m2(R＋h′)ω2＝m2(R＋h′)，且h′＝6R，所以有ω＝，T＝2π，故CD正确．答案：ACD9．(2022·福建，14)“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时( )A．r、v都将略为减小B．r、v都将保持不变C．r将略为减小，v将略为增大D．r将略为增大，v将略为减小解析：7/7\n当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区的上空时，相当于探测器和月球重心间的距离变小了，由万有引力定律F＝可知，探测器所受月球的引力将增大，这时的引力略大于探测器以原来轨道半径运行所需要的向心力，探测器将做靠近圆心的运动，使轨道半径略为减小，而且月球的引力对探测器做正功，使探测器的速度略微增加，故A、B、D选项错误，C选项正确．答案：C10.图4－4－10如图4－4－10是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭屡次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．以下说法正确的选项是( )A．发射“嫦娥一号”的速度必须到达第三宇宙速度B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力解析：此题考察了与万有引力定律相联的多个知识点，如万有引力公式、宇宙速度、卫星的周期等，设问角度新颖．第三宇宙速度是卫星脱离太阳系的最小发射速度，所以“嫦娥一号”卫星的发射速度一定小于第三宇宙速度，A项错误；设卫星轨道半径为r，由万有引力定律知卫星受到的引力F＝G，C项正确．设卫星的周期为T，由G＝mr得T2＝r3，所以卫星的周期与月球质量有关，与卫星质量无关，B项错误．卫星在绕月轨道上运行时，由于离地球很远，受到地球引力很小，卫星做圆周运动的向心力主要是月球引力提供，D错误．答案：C11．宇航员在地球外表以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；假设他在某星球外表以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地．(取地球外表重力加速度g＝10m/s2，阻力不计)(1)求该星球外表附近的重力加速度g′；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．解析：(1)设竖直上抛初速度为v0，那么v0＝gt/2＝g′·5t/2，故g′＝g＝2m/s2.(2)设小球质量为m，那么mg＝ M＝，故＝＝×＝.答案：(1)2m/s2 (2)12.图4－4－11欧盟和我国合作的“伽利略”7/7\n全球卫星定位系统的空间局部由平均分布在三个轨道平面上的30颗轨道卫星构成，每个轨道平面上有10颗卫星，从而实现高精度的导航定位．现假设“伽利略”系统中每颗卫星均围绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置如图4－4－11所示，相邻卫星之间的距离相等，卫星1和卫星3分别位于轨道上A、B两位置，卫星按顺时针运行．地球外表重力加速度为g，地球的半径为R，不计卫星间的相互作用力．求卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间．解析：设地球质量为M，卫星质量为m，每颗卫星的运行周期为T，万有引力常量为G，由万有引力定律和牛顿定律有G＝mr2①地球外表重力加速度为g＝G②联立①②式可得T＝③卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间为t＝T④联立③④式可得t＝.答案：7/7
