3.2.2直线的两点式方程,1.了解由直线方程的点斜式推导出两点式方程及截距式方程. 2.初步学会用直线方程的知识解决有关实际问题.教学目标:,一、复习回顾：前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？点斜式：y-y0=k(x-x0)斜截式：y=kx+b垂直于x轴的直线：x=x0垂直于y轴的直线：y=y0,思考：大家都知道：两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程能否用“公式”直接写出来呢？二、问题的提出：例如:已知两个点的坐标P(1,2),Q(3,5).(1)如何求出经过P,Q两点的直线的方程？(2)由此你还有直线方程的新发现吗？,三、直线的两点式方程设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则(1)直线l的斜率是什么？(2)你能写出直线l的点斜式方程吗？(1)斜率：(2)方程：写成比例式可化为.,直线方程的两点式:已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2），如何求出通过这两点的直线方程呢？经过直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。1、直线的两点式方程:,垂直于x轴的直线：x=x0垂直于y轴的直线：y=y0说明:(1)这个方程由直线上两点确定;(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?),无法表示垂直坐标轴的直线可以,2、中点坐标公式:（1）已知x轴上两点P1(x1，0)，P2(x2,0)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？（2）已知y轴上两点P1(0,y1)，P2(0,y2)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？,（3）已知两点P1(0,y)，P2(x,0)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？（4）已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？,例4、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.xyO.M四、例题分析:B.A..C,四、例题分析:例3、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.说明(1)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴的截距，此时直线在y轴的截距是b;xlBAOy(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程;,3、直线的截距式方程：（1）当x1=x2时,直线l的方程是（2）当y1=y2时,直线l的方程是（3）若两点是直线l与x轴的交点A(a,0),和与y轴的交点B(0,b),其中a≠0,b≠0,则直线l的方程是怎样的？定义：设直线l与x轴、y轴的交点分别是(a,0),(0,b)，则a、b分别叫做直线在x、y轴上的截距.叫做直线的截距式方程.x=x1y=y1,无法表示垂直坐标轴和过原点的直线3、直线的截距式方程：,练习:B,例5求经过点P(2，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例6求经过点P(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.,2、已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.练习:,五、小结：直线方程名称直线方程形式适用范围点斜式斜截式两点式截距式不垂直x轴y=kx+b不垂直x轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标轴且不经过原点,例1:已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的方程.分析:求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适用范围.题型一直线的两点式方程解:如右图,直线AC过点A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得 整理可得2x+5y-6=0,这就是所求直线AC的方程.直线AB经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等,可知其方程为y=2,这就是所求直线AB的方程.,直线BC经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等,可知其方程为x=3,这就是所求直线BC的方程.由于A(-2,2),C(3,0),∴kAC=由AC边上的高线与AC垂直,设其斜率为k,则k•kAC=-1,得 根据直线的点斜式方程,得y-2=(x-3),即5x-2y-11=0,这就是所求的AC边上的高线所在直线的方程.规律技巧:当直线与坐标轴平行或重合时,不能用两点式,应作特殊处理.,变式训练1:已知两点A(3,2),B(8,12). (1)求出直线AB的方程; (2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.解:(1)由直线的两点式方程得即为2x-y-4=0,这就是直线AB的方程. (2)∵点C(-2,a)在直线AB上, ∴2×(-2)-a-4=0.∴a=-8.,例2:直线l过点P(-6，3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍，求直线l的方程.分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正,可负,可为零,所以应分b=0和b≠0两种情况解答.题型二直线的截距式方程解:(1)当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx,∵直线l过点P(-6,3). ∴3=-6k,k=-.∴直线l的方程为y=-x,即x+2y=0.,(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程为 又直线l过点P(-6,3), ∴,解得b=1. ∴直线l的方程为+y=1.即x+3y-3=0.综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.,变式训练2:根据条件,求下列各题中直线的截距式方程. (1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2; (2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4.,例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为-2的直线方程.分析:依题意知,截距不为0,故可设出直线的截距式方程,利用待定系数法求解.题型三直线方程的应用规律技巧:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式,由于本题涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的截距式方程.,变式训练3:求与两坐标围成的三角形面积为32,且斜率为-4的直线l的方程.,例4:已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.错解:错解1:由于直线l的截距相等,故直线l的斜率为±1.若k=1,则直线方程为:y+2=x-3,即为x-y-5=0;若k=-1,则直线方程为:y+2=-(x-3),即为x+y-1=0.易错探究,错解2:由题意,直线在两轴上的截距相等,可设直线的方程为:由于直线过点(3,-2),则有所以a=1.即所求的方程为x+y-1=0.错因分析:在上述两种错解中,错解1忽视了截距的意义,截距不是距离,它可正可负,也可以为0.当k=1时,直线x-y-5=0在两轴上的截距分别为5和-5,它们是不相等的.另外,这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形;错解2中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解.,正解:解法1:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其斜率为k,则可得直线的方程为:y+2=k(x-3).令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得 由题意得-2-3k=3+解得k=-1,或k=所以l的方程为:y+2=-(x-3),或y+2=(x-3).即为x+y-1=0,或2x+3y=0.,解法2:设直线l在两轴上的截距均为a. (1)若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为:2x+3y=0; (2)若a≠0,则l的方程可设为:因为l过点(3,-2),知=1,即a=1.所以直线l的方程为x+y=1,即为x+y-1=0.综合(1)､(2)可知:直线l的方程为2x+3y=0,或x+y-1=0.,基础强化:1.过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是() A.x=5B.y=2C.x=2D.x+y=2C2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是()A,3.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是() C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0C4.直线ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是()D,x=3y=-26.过(3,0)点与x轴垂直的直线方程为_______,纵截距为-2且与y轴垂直的直线方程为________.5.直线ax-y+a=0(a≠0)在两坐标轴上截距之和是() A.a-1B.1-aC.a+1D.解析:令x=0,得y=a.令y=0,得x=-1,故直线在两坐标轴上截距之和为a-1.A7.过(5,7)及(1,3)两点的直线方程为__________,若点(a,12)在此直线上,则a=__________.解析:过点(5,7)及(1,3)两点的直线方程为即x-y+2=0.∵点(a,12)在x-y+2=0上, ∴a-12+2=0.∴a=10.x-y+2=010,8.已知直线l的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，求此直线l的方程.解法1:设直线方程为y=6x+b,令x=0,得y=b,令y=0得 由题意=10.∴b=12.所以所求直线方程为6x-y+12=0.,能力提升:9.求斜率为且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线l的方程.,10.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在两坐标轴上的截距之和为5,求这样的直线有几条?,12.(上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是() A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2解析:当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.显然平行;验证当k=1时,l1:-2x+3y+1=0, l2:-4x-2y+3=0,显然不平行.因此,选C.11.(安徽文4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程为() A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析:所求直线可设为x-2y+c=0. ∵过点(1,0),∴1+c=0,∴c=-1.∴所求直线为x-2y-1=0.AC,课堂小结:1.两点式、截距式、中点坐标.2.到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？3.要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？,课后作业:1.阅读教材P.95到P.97；2.课堂练习：P971、2、3课外作业：P100习题3.2A组6、7、8、9B组1做书上
