直线的两点式方程基础过关练题组一 直线的两点式方程1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为( )A.5x+3y-25=0B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0D.5x-3y+25=02.已知直线l的两点式方程为y-0-3-0=x-(-5)3-(-5),则l的斜率为( )A.-38B.38C.-32D.323.若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1009,b)在直线l上,则b的值为( )A.2019B.2018C.2017D.20164.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为 . 5.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).(1)求边AC和AB所在直线的方程;(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.题组二 直线的截距式方程6.在x轴和y轴上的截距分别为-4和5的直线方程是( )A.x5+y-4=1B.x4+y-5=1C.x-4+y5=1D.x-5+y4=17.(2020吉林东北师大附属中学高二上阶段测试)直线-x2+y3=-1在x轴,y轴上的截距分别为( )A.2,3B.-2,3C.-2,-3D.2,-38.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 . 9.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A,B两点,若P为AB的中点,则直线l的截距式方程是 . 题组三 直线的两点式、截距式方程的应用6,10.一束光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(-1,6),分别求入射光线和反射光线所在直线的方程.11.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:(1)顶点C的坐标;(2)直线MN的方程.能力提升练题组 直线的两点式、截距式方程的应用1.()两条直线xm-yn=1与xn-ym=1的图形可能是( )ABCD2.(2019河南郑州一中高一月考,)若直线xa+yb=1过第一、三、四象限,则( )A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<03.(2020山西怀仁重点中学高二上期末,)经过点A(-1,2),并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( 易错 )A.1条B.2条C.3条D.4条4.()过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为 . 5.(2020黑龙江哈尔滨第三中学高二上期中,)已知P(3,2),且直线l过点P.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.6,6.()已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点E(-1,1),其中A(-2,0),B(1,1).求:(1)点D的坐标及AD所在直线的方程;(2)平行四边形ABCD的面积.深度解析7.()过点P(1,4)作直线l,直线l与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点.(1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程;(2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程.答案全解全析基础过关练1.B 由题意得,y-0-5-0=x-52-5,整理得5x-3y-25=0.故选B.2.A 由题意知,直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为0-(-3)-5-3=-38.3.A 由直线的两点式方程得直线l的方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),即y=2x+1,6,将点(1009,b)代入方程,得b=2×1009+1,解得b=2019.4.答案 2x-y+1=0解析 由题易得,AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得y-35-3=x-12-1,即2x-y+1=0.5.解析 (1)由直线的两点式方程,得边AC所在直线的方程为y-40-4=x-0-8-0,即x-2y+8=0.边AB所在直线的方程为y-46-4=x-0-2-0,即x+y-4=0.(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),由直线的两点式方程,得中线BD所在直线的方程为y-26-2=x-(-4)-2-(-4),即2x-y+10=0.6.C 由直线的截距式方程可得x-4+y5=1.7.D 直线方程可化为x2+y-3=1,因此,直线在x轴,y轴上的截距分别为2,-3,故选D.8.答案 x2+y=1或x3+y2=1解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0,a≠-1),则l在x轴上的截距为a+1,则l的方程为xa+1+ya=1,将点A(6,-2)代入得6a+1-2a=1,即a2-3a+2=0,∴a=2或a=1,∴直线l的方程为x3+y2=1或x2+y=1.9.答案 x2+y6=1解析 设A(m,0),B(0,n)(m≠0,n≠0),由P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),则直线l的截距式方程是x2+y6=1.10.解析 易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A'(3,-2).由已知可得反射光线所在直线为直线A'B,其方程为y-6-2-6=x+13+1,即2x+y-4=0.点B(-1,6)关于x轴的对称点为B'(-1,-6).由已知可得入射光线所在直线为直线AB',其方程为y+62+6=x+13+1,即2x-y-4=0.故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.6,11.解析 (1)设C(x0,y0),则Mx0+52,y0-22,Nx0+72,y0+32,因为M在y轴上,所以x0+52=0,解得x0=-5.又因为N在x轴上,所以y0+32=0,解得y0=-3.所以C(-5,-3).(2)由(1)可得M0,-52,N(1,0),所以直线MN的截距式方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.能力提升练1.B 直线xm-yn=1在x轴,y轴上的截距分别是m,-n,直线xn-ym=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图形知B正确,故选B.2.B 因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.3.C 当直线经过原点时,符合题意,设直线的方程为y=kx,则k=-2,所以直线方程为y=-2x.当直线不经过原点时,设直线方程为xa+yb=1,由A点在直线上知-1a+2b=1.①依题意得,|a|=|b|.若a=b,则代入①得a=b=1,所以直线方程为x+y-1=0.若a=-b,则代入①得a=-3,b=3,所以直线方程为x-y+3=0.因此,符合题意的直线有3条,故选C.易错警示 在解决与截距有关的问题时,要注意直线过原点的情况,防止遗漏导致错误.4.答案 x+2y-6=0解析 设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0).由P点在直线l上,得4a+1b=1,6,∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)4a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba·ab=9,当且仅当4ba=ab,即a=6,b=3时取“=”,∴直线l的方程为x6+y3=1,即x+2y-6=0.5.解析 当l与坐标轴平行或过原点时,不符合题意,所以可设l的方程为xa+yb=1(a≠0,b≠0),则a+b=12,3a+2b=1⇒a=4,b=8或a=9,b=3,则直线l的方程为x4+y8=1或x9+y3=1,整理得2x+y-8=0或x+3y-9=0.6.解析 (1)由题意,知E为BD的中点,∴D点坐标为(-3,1),∴AD所在直线的方程为y-01-0=x-(-2)-3-(-2),即x+y+2=0.(2)如图所示,在平行四边形ABCD中,BD∥x轴,且|BD|=1-(-3)=4,作AH⊥BD于点H,则|AH|=1.因此S▱ABCD=2S△ABD=2×12×4×1=4.解题模板 在平面直角坐标系中,求三角形的面积,常选择平行于坐标轴的线段为底,则高平行于另一坐标轴,这样便于求长度.7.解析 设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0,则由直线的截距式方程得直线l的方程为xa+yb=1.将P(1,4)代入直线l的方程,得1a+4b=1.(*)(1)依题意得,12ab=9,即ab=18,由(*)式得,b+4a=ab=18,从而b=18-4a,∴a(18-4a)=18,整理得,2a2-9a+9=0,解得a1=3,a2=32,对应的b1=6,b2=12,因此直线l的方程为x3+y6=1或x32+y12=1,整理得,2x+y-6=0或8x+y-12=0.(2)由题意得S=12ab=12ab1a+4b2=12×8+ba+16ab≥12×8+2ba·16ab=12×(8+8)=8,当且仅当ba=16ab,即a=2,b=8时取等号,因此直线l的方程为x2+y8=1,即4x+y-8=0.6
