直线的一般式方程1.直线mx-y+2m+1=0恒过一定点，则此定点为()A.(-2,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,1)答案：A2.（2021四川内江资中二中高二月考）已知直线l：ax-y+2-a=0的横截距与纵截距相等，则a的值为()A.1B.-1C.-1或2D.2答案：C3.（2021山东济南回民中学高二期中）斜率为-3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是()A.3x+y+6=0B.3x-y+2=0C.3x+y-6=0D.3x-y-2=0答案：C4.（多选题）（2021山东临沂高二期中）下列说法正确的是()A.直线y=ax-2a+1必过定点(2,1)B.直线3x-2y+4=0在y轴上的截距为-2C.直线3x+y+1=0的倾斜角为120∘D.若将直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线l的斜率为23答案：A;C;D5.（2021贵州遵义航天中学高二月考）过点P(1,3)，且垂直于直线x-2y+3=0的直线的方程为()A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x+2y+7=0答案：B6.（2021北京育英学校高二期末）已知直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，则m=()5
A.1B.2C.3D.4答案：D解析：因为直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，所以21=m2，解得m=4，满足题意，故m=4.7.（2020浙江6月学业水平适应性考试）过点A(1,-2)，且与直线2x-y+1=0平行的直线的方程为()A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.x+2y-3=0D.x+2y+3=0答案：A8.（2021湖北宜昌秭归一中高二期中）已知直线kx-y-k+3=0过定点A，直线2kx-y-8k=0过定点B，则直线AB的倾斜角为()A.5 π6B.2 π3C.π3D.π6答案：A9.已知直线(2t-3)x+y+6=0，则该直线过定点；若该直线不经过第一象限，则t的取值范围是.答案：(0,-6);[32,+∞)10.（2021上海金山中学高二期中）设直线l：ax+3y-2=0，其倾斜角为α，若α∈(π6,π2)∪(π2,34π)，则a的取值范围为.答案：a＜-3或a＞3素养提升练11.已知直线l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0与两坐标轴交于A，B两点，且点M(-1,-2)是线段AB的中点，则实数m的值为()A.-13B.0C.13D.2答案：B解析：设A(x0,0),B(0,y0)，将直线l的方程(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0化为2x+y+4+m(x-2y-3)=0，由2x+y+4=0,x-2y-3=0得x=-1,y=-2,∴直线l过定点(-1,-2)，即点M(-1,-2)在直线l上，、5
又M为线段AB的中点，∴由中点坐标公式可得x0=-2,y0=-4，将点A(-2,0)代入直线l的方程得-4-2m+4-3m=0，∴m=0.12.设a∈R，则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立，反之，当两条直线平行时，有a2=3a-1且3a2≠7-aa-1，即a=3或a=-2（舍去），故a=3，所以“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的充要条件.13.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是()A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0C.x+y-5=0D.2x+y-7=0答案：C解析：由x-y+1=0得A(-1,0)，又P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，∴P为线段AB中垂线上的点，故B(5,0).又直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补，∴两直线的斜率互为相反数，故直线PB的斜率kPB=-1，∴直线PB的方程为y=-(x-5)，即x+y-5=0.14.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2 m2+m-1)y=2m-6，根据下列条件分别求m的值.（1）直线l在x轴上的截距为1；（2）直线l的斜率为1.5
答案：（1）易知直线l过点(1,0),∴m2-2m-3=2m-6，解得m=3或m=1.∵m=3时，直线l的方程为y=0，不符合题意，∴m=1.（2）由斜率为1得-m2-2m-32m2+m-1=1,2m2+m-1≠0,解得m=43.15.（2021福建厦门一中高二月考）已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).（1）求过点A且与BC垂直的直线l1的方程；（2）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.答案：（1）因为kBC=4-33+1=14，且直线l1与BC垂直，所以直线l1的斜率k=-1kBC=-4，所以直线l1的方程是y-1=-4(x-1)，即4x+y-5=0.（2）因为直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.当直线l2与AB平行时，因为kAB=3-1-1-1=-1，所以直线l2的方程是y-4=-(x-3)，即x+y-7=0.当直线l2过AB的中点M时，因为AB的中点M的坐标为(0,2)，所以kCM=4-23-0=23，所以直线l2的方程是y-4=23(x-3)，即2x-3y+6=0.综上，直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.创新拓展练16.（2021北京教师进修学校附属实验学校高二期中）已知直线l：kx-y+1+2k=0,k∈R，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点为O.（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l在x轴上的截距小于0，在y轴上的截距大于0.设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程；（3）直接写出△AOB的面积S(S＞0)在不同取值范围下的直线l的条数.命题分析本题考查了直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为两函数图象的交点问题，从而利用数形结合的方式求出.5
答题要领（1）把l的方程化为k(x+2)+(1-y)=0，根据恒等式的性质建立方程组求定点；（2）分别求出直线l在x轴和y轴上的截距，写出面积，利用基本不等式求出最值；（3）根据S的表达式，将待求问题转化为直线y=S(S＞0)与曲线y=f(k)=|2k+12k+2|的交点个数问题，利用图象求解.详细解析（1）证明：直线l的方程可变形为kx+2+1-y=0，由x+2=0,1-y=0得x=-2,y=1,∴直线l过定点(-2,1).（2）当x=0时，y=1+2k；当y=0时，x=-1+2kk，∴A(-1+2kk,0),B(0,1+2k)，由题意知-1+2kk＜0,1+2k＞0,解得k＞0，则S=12×|OA|×|OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(4k+1k+4)≥12×(2×4k⋅1k+4)=4，当且仅当4 k=1k，即k=12时等号成立，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0.（3）由（2）可知S=12×|OA|×|OB|=12×|1+2kk|×|1+2k|=|2k+12k+2|，令f(k)=|2k+12k+2|，则直线l的条数等价于曲线y=f(k)与直线y=S(S＞0)的交点个数，画出函数图象，由图可知，当0＜S＜4时，直线l有2条；当S=4时，直线l有3条；当S＞4时，直线l有4条.解题感悟（1）直线过定点问题常根据恒等式转化为方程求解，也可以转化为点斜式求解.（2）涉及面积的最值问题，一般先确定目标函数，再利用基本不等式或函数的性质求解.5
