1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第30讲图形的相似与位似目录\n数据链接真题试做命题点1相似三角形的判定与计算命题点2相似三角形与图形变换相结合命题点3与位似有关的计算与证明\n相似三角形的判定与计算命题点11.(2021·河北,8)如图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB=()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm返回子目录C数据链接真题试做1\n2.(2017·河北,7)若△ABC的每条边长增加各自的10得△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比()A.增加了10B.减少了10C.增加了(1+10)D.没有改变返回子目录D3.(2016·河北,15)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()C\n4.(2014·河北,13)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:返回子目录乙:将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点,下列说法正确的是()A甲:将边长为3,4,5的三角形按图①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,则新三角形与原三角形相似.A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对图①图②\n相似三角形与图形变换相结合命题点2返回子目录5.(2011·河北,9)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,若A'为CE的中点,则折痕DE的长为()BA.B.2C.3D.4\n与位似有关的计算与证明命题点3返回子目录6.(2020·河北,8)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是()AA.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR\n返回子目录7.(2011·河北,20)如图,在6×8网格图中,每个小正方形的边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.(1)以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似比为1∶2;(2)连接(1)中的AA',求四边形AA'C'C的周长(结果保留根号).\n返回子目录解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求;(2)连接AA',OA'.AA'=CC'=2,在Rt△OA'C'中,OA'=OC'=2,得A'C'=2,同理AC=4.∴四边形AA'C'C的周长=AC+AA'+A'C'+C'C=4+2+2+2=4+6.\n返回子目录8.(2012·河北,23)如图①,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧.(1)AE和ED的数量关系为,AE和ED的位置关系为.(2)在图①中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到了图②和图③.①在图②中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.②在图③中,点F在BE的延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰好使得GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).AE⊥EDAE=ED\n返回子目录(2)①证明:由题意可知,∠B=∠C=90°,AB=BE=EC=DC.∵△EGF与△EAB的相似比是1∶2,∴∠GFE=∠B=90°,GF=AB,EF=EB.∴∠GFE=∠C.∵EH=HC=EC,∴GF=HC,FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD.∴△HGF≌△DHC(SAS).∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.又∵∠HDC+∠DHC=90°,∴∠GHF+∠DHC=90°.∴∠GHD=90°.∴GH⊥HD.②CH的长为k.\n数据聚焦考点梳理考点1平行线分线段成比例考点2比例的相关概念及性质考点3相似三角形的判定及性质考点4相似多边形考点4位似图形5\n平行线分线段成比例考点1返回子目录1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截,则=.数据聚集考点梳理2\n返回子目录2.结论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图,因为DE∥BC,所以=,也可以说=,还可以说=.\n比例的相关概念及性质考点2返回子目录1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比.2.比例中项:如果=,即b2=①,我们就把b叫做a,c的比例中项.ac\n性质1=⇔②=bc(a,b,c,d≠0)性质2如果=,那么=③性质3如果==…=(b+d+…+n≠0),则=④返回子目录ad3.比例的性质4.黄金分割:如果点C把线段AB分成两条线段,使=,那么点C叫做线段AB的黄金分割点,AC是BC与AB的比例中项,AC与AB的比叫做黄金比.\n相似三角形的判定及性质考点3返回子目录2.性质(1)相似三角形的对应角⑤;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)⑥;(3)相似三角形的周长比等于⑦,面积比等于⑧.1.定义:三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比.相等相似比成比例相似比的平方\n返回子目录3.判定(1)⑨对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且⑩相等,两三角形相似;(3)三边,两三角形相似;(4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.两角夹角对应成比例\n相似多边形考点4返回子目录2.性质(1)相似多边形的对应边;(2)相似多边形的对应角;(3)相似多边形周长的比相似比,相似多边形面积的比等于.1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.相等等于成比例相似比的平方\n位似图形考点5返回子目录2.性质(1)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k;(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于.1.定义:如果一个图形上的点A,B,…,P,…和另一个图形上的点A',B',…,P',…分别对应,并且它们的连线AA',BB',…,PP',…都经过同一点O,==…==…,那么这两个图形叫做位似图形,点O是位似中心,相似比叫做位似比.位似比\n返回子目录3.找位似中心的方法:将两个图形的各组对应点连接起来,若它们所在的直线相交于一点,则该点就是位似中心.4.画位似图形的步骤(1)确定位似中心;(2)确定原图形的关键点;(3)确定位似比;(4)作出原图形中各关键点的对应点;(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部,也可在图形外部、边上或顶点上.\n数据剖析题型突破考向1相似三角形的判定及性质考向2位似图形\n相似三角形的判定及性质（5年考2次）考向1A.只有①相似B.只有②相似C.都相似D.都不相似返回子目录1.(2021·石家庄质检)已知图①②中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图②中AB,CD交于点O,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是()C数据剖析题型突破3\n返回子目录2.(2021·唐山模拟)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()DA.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.=D.=\n返回子目录3.(2021·衡水模拟)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,DE=4,则BC的长为()CA.8B.10C.12D.16\n返回子目录4.(2021·唐山模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E为CD上一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,则DF∶BF等于()AA.2∶5B.2∶3C.3∶5D.3∶2\n返回子目录5.(2021·河北模拟)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°.(1)求证:△ABE∽△ECD;(2)若AB=4,BE=,求CD的长.\n返回子目录解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=45°,∴∠BAE=∠CED.∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,∴BC=4.∵BE=,∴EC=3.∵△ABE∽△ECD,∴=,即=,∴CD=.\n返回子目录判定两个三角形相似的四种方法:(1)当图形中有平行线时,多用两角对应相等判定;(2)当已知两个三角形的一组角相等时,可以再找一组角,尝试证明相等,或是证明这组角的对应边成比例;(3)当已知两个三角形中三边的长度时,可以用三组边的比相等来证明两个三角形相似;(4)当条件中给出比例式时,可考虑证三边对应成比例,或者用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明.\n位似图形（5年考1次）考向2返回子目录1.(2021·邢台模拟)如图,若△ABC与△DEF是位似图形,则位似中心可能是()AA.O1B.O2C.O3D.O4\n2.(2021·石家庄42中模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心,作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE,则位似中心的坐标和k的值分别为()返回子目录BA.(0,0),2B.(2,2),C.(2,2),2D.(1,1),\n返回子目录3.(2021·石家庄质检)如图,点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,若OA∶OA1=1∶3,则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶9D\n返回子目录4.(2021·河北模拟)如图,等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE是以点O为位似中心的位似图形,且位似比为k=1∶3,∠ACB=90°,BC=4,则点D的坐标是()AA.(18,12)B.(16,12)C.(12,18)D.(12,16)\n返回子目录5.如图,△ABC在方格纸中(1)请在方格纸中建立平面直角坐标系,使A(2,3),C(6,2),并求出B点坐标;(2)以原点O为位似中心,相似比为2,在第一象限内将△ABC放大,画出放大后的图形△A'B'C';(3)计算△A'B'C'的面积S.\n返回子目录解:(1)画出如图所示的平面直角坐标系,点B的坐标是(2,1);(2)画出的△A'B'C'如图所示;(3)S△A'B'C'=×8×4=16.\n返回子目录一把两个位似图形中的两对对应点分别连接,两条线段(或其延长线)的交点就是位似中心;在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
