3.1导数的概念、意义及运算第三章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,的导数.5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.6.会使用导数公式表.\n备考指导导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复习本节时,要熟记导数公式表和导数的运算法则,能准确求出一般函数及复合函数的导数.此外,导数的几何意义也是一个重要考点,要理解其含义并会应用其解题.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】\n温馨提示曲线的切线不一定与曲线只有一个交点,可以有两个甚至多个交点.\n3.基本初等函数的导数公式\n4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);5.复合函数的导数(1)定义:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)求导法则:一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'.\n1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.()(2)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).()(3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.()×××××\n2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过ts后的位移为,那么速度为零的时刻是()A.0sB.1s末C.2s末D.1s末和2s末D\n4.函数y=sin3x的导函数是.5.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.y'=3cos3x设y=sinu,u=3x,则yx'=yu'·ux'=(sinu)'·(3x)'=cosu·3=3cos3x.y=3x由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,得k=y'|x=0=3.故曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1导数的运算\n解题心得函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程求导.\n对点训练1(1)已知函数f(x)的导函数为f'(x),满足关系式f(x)=x2+3xf'(2)+lnx,则f'(2)的值等于()D\n\n能力形成点2导数几何意义的应用命题角度1求切线方程例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.\n\n命题角度2求切点坐标A\n命题角度3由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)例4若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.1-ln2\n\n解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.已知切线方程(斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.3.已知切线方程(斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.\n对点训练2(1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=xD(方法一)∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,∴f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,∴a=1,∴f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1,∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.(方法二)∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴f'(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,∴a=1,即f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1,∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.\n(2)已知函数f(x)=xlnx在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为.(1,0)∵f(x)=xlnx,∴f'(x)=lnx+1,由题意得f'(x0)·(-1)=-1,即f'(x0)=1,∴lnx0+1=1,lnx0=0,∴x0=1,∴f(x0)=0,即点P(1,0).\n(3)在平面直角坐标系Oxy中,若曲线(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.-3\n第三环节 学科素养提升\n两曲线的公切线问题求曲线的公切线问题是近年高考的热点题型之一.学生解决单一曲线的切线问题相对熟练,但公切线问题则需要加强训练.两曲线的公切线问题的一般解题思路是:设曲线C1:y=f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线为l1:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),整理得到l1:y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1).设曲线C2:y=g(x)在点B(x2,g(x2))处的切线为l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得到l2:y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2).由于l1与l2是相同直线(即曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线),故有f'(x1)=g'(x2),且-f'(x1)x1+f(x1)=-g'(x2)x2+g(x2)(即斜率相等,纵截距相等),从而可求解一些与公切线有关的问题.\n\n解题心得解决曲线的公切线问题通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出方程(组)求解;二是设公切线l在曲线y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在曲线y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则\nA\n
