单元质检卷四 三角函数(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若θ=cos2021π,则角θ的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3cosα,2),则sinα的值等于( )A.B.C.-D.-3.(2021湖南师大附中高三月考)已知=2,则tan2α=( )A.-B.-C.D.4.(2021山西太原高三月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(π-C)-ccos(π+B)=0,则tanB=( )A.B.C.-D.-5.(2021安徽合肥高三期末)已知函数f(x)=tanωx+(ω>0)的图象上相邻两个对称中心的距离为,若将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.kπ-,kπ+(k∈Z)D.kπ-,kπ+(k∈Z)6.\n如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是( )A.h(t)=-8sint+10B.h(t)=-cost+10C.h(t)=-8sint+8D.h(t)=-8cost+107.(2021天津和平高三期中)已知函数f(x)=asin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为π,其最小值为-2,且满足f(x)=-f-x,则φ=( )A.±B.±C.D.-或-8.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若cos2C=1-,则角B等于( )A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021江苏连云港高三月考)设α是三角形的一个内角,则下列哪些值可能为负值( )A.sin(π-α)B.cos(-α)C.tan(π+α)D.tan10.(2021浙江杭州高三月考)若将函数f(x)=cos2x+的图象向左平移个单位长度,\n得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是( )A.g(x)的最小正周期为πB.g(x)在区间0,上单调递减C.x=不是函数g(x)图象的对称轴D.g(x)在-上的最小值为-11.(2021福建厦门高三月考)已知tan(α+β)=tanα+tanβ,其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z),则下列结论一定正确的是( )A.sin(α+β)=0B.cos(α+β)=1C.sin2+sin2=1D.sin2α+cos2β=112.(2021河北沧州高三二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2C=tanA(2sin2C+cosC-2),则下列结论中错误的是( )A.△ABC可能是直角三角形B.角B可能是钝角C.必有A=2BD.可能有a=2b三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021山东德州高三月考)若函数f(x)=sin(2ωx-θ)(ω>0,-π<θ<0)是周期为的偶函数,则f= . 14.(2021北京海淀高三月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinC=2sinA,b2-a2=ac,则sinB等于 . 15.已知sin(α-β)=,sin(α+β)=,则= . 16.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥BD,AB=BD,BC=CD,AD=2,在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若c2=2abcos∠BCA,则△ACD的面积为 . \n四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021福建泉州高三月考)已知f(θ)=.(1)化简f(θ);(2)若tanθ=,求fθ-的值.18.(12分)(2021安徽六安高三期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式及对称中心坐标;(2)设α∈(0,π),且f=-2,求α的值.\n19.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=2.(1)若A=,求cos2B;(2)当A取得最大值时,求△ABC的面积.20.(12分)(2021河北石家庄高三二模)已知函数f(x)=cosx+cosx+.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)的图象,求函数g(x)在[0,π]上的值域.\n21.(12分)(2021福建宁德高三二模)如图,准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=千米,AN=千米.(1)求线段MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.22.(12分)如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为的圆上,且∠BCD=.(1)求BD的长度;(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD,求△ABD的面积.\n\n单元质检卷四 三角函数1.D 解析因为θ=cos2021π=-1∈-,0,所以角θ的终边在第四象限,故选D.2.B 解析由三角函数定义得tanα=,即,所以sinα=,故选B.3.A 解析因为tanα+=2,所以tanα=3,从而可得tan2α==-,故选A.4.D 解析由已知得bsinC+ccosB=0,即sinBsinC+sinCcosB=0,因为sinC≠0,所以sinB+cosB=0,故tanB=-,故选D.5.A 解析依题意得,所以T=,所以,解得ω=2,所以f(x)=tan2x+,把f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=tan2x-+=tan2x的图象,令kπ-<2x<kπ+,k∈Z,解得<x<,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z),故选A.6.D 解析设h=Asin(ωt+φ)+BA>0,ω>0,|φ|≤,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,∴A==8,B==10,ω=,则h=8sin+φ+10.当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,则φ=-,所以h=8sint-+10=-8cost+10.故选D.\n7.A 解析由最小正周期为π,可得ω=2.∵最小值为-2,∴=2,a=±.∵f(x)=-f-x,∴函数图象关于点,0对称.①若a=,则f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin2x+φ+.∵2×+φ+=kπ(k∈Z),∴φ=kπ-(k∈Z).令k=1,得φ=.②若a=-,则f(x)=-sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=-2sin2x+φ-,∵2×+φ-=kπ(k∈Z),则φ=kπ-(k∈Z).令k=0,得φ=-.综上可得,φ=±,故选A.8.A 解析由cos2C=1-,结合正弦定理可得1-2sin2C=1-,整理得sin2B-2sin2Csin2B=sin2B-sin2C.又C为锐角,故sinC≠0.于是sin2B=,从而sinB=.又因为三角形ABC是锐角三角形,所以B=.9.BC 解析由已知可得0<α<π,则0<,sin(π-α)=sinα>0,故A不正确;tan=tan=>0,故D不正确;当<α<π时,cos(-α)=cosα<0,tan(π+α)=tanα<0,故B,C正确.故选BC.10.ACD 解析由题意可得g(x)=cos2x++=cos2x+,∴函数g(x)的最小正周期为π,故A正确;当x∈0,时,2x+∈,故g(x)在区间0,上不单调,\n故B错误;∵g=0,故x=不是函数g(x)图象的对称轴,故C正确;当x∈-时,2x+∈0,,∴当2x+,即x=时,g(x)取得最小值-,故D正确,故选ACD.11.AD 解析因为tan(α+β)=,且tan(α+β)=tanα+tanβ,所以1-tanα·tanβ=1,即tanα·tanβ=0,所以α=k1π(k1∈Z)或β=m1π(m1∈Z),sin(α+β)=sin(k1π+m1π)=0(k1,m1∈Z),故A正确;cos(α+β)=cos(k1π+m1π)=±1(k1,m1∈Z),故B错误;sin2+sin2=sin2+sin2,令k1=m1=1,则sin2+sin2=2,故C错误;由A知sin(α+β)=0,则α+β=nπ(n∈Z),故sin2α+cos2β=sin2α+cos2(nπ-α)=sin2α+cos2α=1(n∈Z),故D正确,故选AD.12.BC 解析依题意得2sinCcosC=(2-2cos2C+cosC-2),即2sinCcosC=·cosC(1-2cosC),整理得cosC·[2(sinAcosC+cosAsinC)-sinA]=0,即cosC·(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinA=2sinB.当cosC=0时,△ABC是直角三角形,故A选项正确;而当sinA=2sinB时,由正弦定理可得a=2b,故C选项错误,D选项正确;无论cosC=0或sinA=2sinB,均可得角B为锐角,故B选项错误.13.- 解析依题意可得,θ=-,即ω=2,θ=-,于是f(x)=cos4x,因此f=cos4×=-.14. 解析∵sinC=2sinA,∴c=2a.又b2-a2=ac,∴b2=2a2,即b=a.由余弦定理可得,cosB=.又0<B<π,∴sinB=.15.9 解析由题得sinαcosβ-cosαsinβ=,sinαcosβ+cosαsinβ=,两式相加得sinαcosβ=,两式相减得cosαsinβ=,因此=9.\n16. 解析∵AB=BD,AB⊥BD,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=AB=c.在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-2abcos∠BCA=c2,又已知c2=2abcos∠BCA,∴a2+b2=2c2.又a=BC=CD,b=AC,AD=c,∴AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD.作CF⊥BD分别交BD,AD于点F,E,∵BC=CD,E,F分别为线段AD,BD的中点,∴∠CED=45°,CE=ED=1,∴S△ACD=2S△ECD=2××EC×ED×sin45°=.17.解(1)f(θ)==.(2)因为tanθ=,所以tanθ-==3,所以fθ-=.18.解(1)由函数图象可知A+B=1,B-A=-3,则A=2,B=-1.又,即T=π,所以ω==2,从而函数f(x)=2sin(2x+φ)-1.把,1代入f(x)解析式得+φ=+2kπ,φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<,故φ=,所以函数解析式为f(x)=2sin2x+-1.\n由2x+=kπ(k∈Z)得x=-(k∈Z),所以对称中心坐标为,-1(k∈Z).(2)因为f=2sinα+-1=-2,所以sinα+=-.又α∈(0,π),则α+∈,所以α+,即α=.19.解(1)由正弦定理得,,解得sinB=,∴cos2B=1-2sin2B=1-.(2)由余弦定理得cosA=,∵,当且仅当c=1时,等号成立,∴cosA≥,则0<A≤,即A的最大值为,此时S△ABC=bcsinA=×2×1×.20.解(1)f(x)=cosx+·cosx+=(-sinx)·-cosx+=sinxcosx-sinx=sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x+cos2x-sin2x+-,所以函数f(x)的最小正周期为=π.\n由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),故函数的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).(2)函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin2x-+-sin2x--,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)=sinx--.因为x∈[0,π],则x-∈-,则sinx-∈-,1,故g(x)∈-.故函数g(x)在[0,π]上的值域为-.21.解(1)在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos120°=3+3-2××-=9,所以MN=3,故线段MN的长度为3千米.(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α.在△PMN中,由正弦定理得=2,所以PM=2sin(120°-α),PN=2sinα.因此PM+PN=2sin(120°-α)+2sinα=2cosα+sinα+2sinα=3sinα+3cosα=6sin(α+30°).由于0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°.所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN取到最大值6.即两条观光线路距离之和的最大值为6千米.\n22.解(1)由题意可知,△BCD的外接圆半径为,由正弦定理=2R=×2,解得BD=5.(2)(方法1)在△ABD中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α,因为,所以,所以AB=6cosα.因为AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα,即9=36cos2α+25-60cos2α,所以cosα=.则AB=6cosα=2,sinα=,所以S△ABD=AB·BD·sinα=5.(方法2)在△ABD中,因为∠ADB=2∠ABD,所以sin∠ADB=sin2∠ABD=2sin∠ABDcos∠ABD,所以AB=2AD·cos∠ABD=2AD·,因为BD=5,AD=3,所以AB=2,所以cos∠ABD=,则sin∠ABD=,所以S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=5.
