单元质检卷一 集合、常用逻辑用语与不等式(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京海淀高三模拟)已知集合A=xy=,B={y|y=2-2x},则A∩B=( )A.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)∪(1,2)D.(0,1)∪(1,2]2.(2021重庆南开中学高三期末)若定义域为R的函数f(x)不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是( )A.∀x∈R,f(x)+f(-x)≠0B.∀x∈R,f(x)=f(-x)C.∃x∈R,f(x)+f(-x)≠0D.∃x∈R,f(x)=f(-x)3.(2021湖南岳阳高三月考)已知不等式>0的解集为(-2,a),则实数a的值是( )A.-1B.-C.1D.±14.(2021湖北十堰高三期中)已知函数f(x)=2x+2-x-a则“a<1”是“f(x)>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2021广东惠州高三月考)道路通行能力表示道路的容量,指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数,是度量道路疏导交通能力的指标,通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定.某条道路一小时的通行能力N满足N=,其中d0为安全距离,V为车速(单位:m/s),且V>0.若安全距离d0取40m,则该道路一小时通行能力的最大值约为( )A.98B.111C.145D.1856.(2021江西赣州高三期中)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有5个整数,则所有符合条件的实数a的值之和是( )A.13B.15C.21D.267.(2021浙江高三开学考试)已知函数f(x)=ax+,若存在两相异实数m,n使f(m)=f(n)=c,且\na+4b+c=0,则|m-n|的最小值为( )A.B.C.D.8.(2021山东东营高三期末)已知a,b,c是正实数,且不等式a2+b2+c2+mb(a+c)≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-]B.[-,+∞)C.[,+∞)D.(-∞,]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021湖北武汉高三一模)设集合M={y|y=-ex+4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x)]},则下列关系正确的是( )A.∁RM⊆∁RNB.N⊆MC.M∩N=⌀D.∁RN⊆M10.若<0,给出下列不等式正确的是( )A.B.|a|+b>0C.a->b-D.lna2>lnb211.(2021辽宁锦州高三期中)已知命题p:x2+3x-4<0,q:2ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的值可以是( )A.-B.1C.D.012.(2021山东潍坊高三期末)已知a>0,b>0,alog42+blog16,则下列结论正确的是( )A.4a+b=5B.4a+b=C.ab的最大值为D.的最小值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.\n13.(2021辽宁抚顺高三期中)设集合A={a,2a2},B={|a|,a+b},若A∩B={-1},则b= . 14.(2021山东淄博高三月考)已知函数f(x)=,命题p:∀x∈R,f(x)-f(-x)=0,若命题p为真命题,则实数m的值为 . 15.(2021天津一中高三期末)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为 . 16.(2021江苏南京高三月考)已知f(x)=若关于x的不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021海南中学高三月考)设全集是R,集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|1-a<x<2a+3}.(1)若a=1,求(∁RA)∩B;(2)问题:已知 ,求实数a的取值范围. 从下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并进行解答.①A∩B=B;②A∪B=R;③A∩B=⌀.18.(12分)(2021广东湛江高三期中)已知命题p:∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0,命题q:∀x∈[1,2],x2-lnx+k-a≥0.(1)若当k=0时,命题p和q都是真命题,求实数a的取值范围;(2)若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,求实数k的取值范围.\n19.(12分)(2021湖北黄冈高三月考)已知f(x)=ax2+(a2-3)x-3a.(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+x+a<0的解集中恰有2个整数,求正整数a的值.\n20.(12分)(2021湖南湘潭高三期中)已知函数f(x)=在(0,+∞)上有最小值1.(1)求实数m的值;(2)若关于x的方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0恰好有4个不相等的实数根,求实数k的取值范围.21.(12分)某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).(1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求实数a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1.(1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集;(2)若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,求实数m的取值范围;(3)若a,b,c为正实数,且的最大值等于f(2),求实数m的值.\n\n单元质检卷一 集合、常用逻辑用语与不等式1.C 解析由已知得A={x|x>0且x≠1},B={y|y<2},所以A∩B=(0,1)∪(1,2),故选C.2.C 解析∵定义域为R的函数f(x)不是奇函数,∴∀x∈R,f(-x)=-f(x)为假命题,∴∃x∈R,f(-x)≠-f(x)为真命题,故选C.3.C 解析因为>0,即<0,即不等式(ax-1)(x+2)<0的解集为(-2,a),所以a>0,且=a,所以a=1,故选C.4.A 解析因为2x+2-x-a≥2-a=2-a(当且仅当x=0时,等号成立),所以由a<1,得f(x)>1>0;由f(x)>0,得a<2.故“a<1”是“f(x)>0”的充分不必要条件,故选A.5.B 解析由题意得N=,因为V>0,所以0.4V+≥2=8,当且仅当0.4V=,即V=10时,等号成立,所以N≤≈111,故选B.6.B 解析设f(x)=x2-6x+a,其图象为开口向上、对称轴为直线x=3的抛物线,根据题意可得,Δ=36-4a>0,解得a<9.∵f(x)≤0解集中有且仅有5个整数,结合二次函数图象的对称性可得解得0<a≤5.又a∈Z,∴a=1,2,3,4,5,即符合题意的a的值之和是1+2+3+4+5=15,故选B.7.B 解析由题意知,当f(x)=ax+=c时,有ax2-cx+b=0(x≠0).由f(m)=f(n)=c,知m,n是ax2-cx+b=0(x≠0,a≠0,b≠0)两个不相等的实数根,∴m+n=,mn=,而|m-n|=.∵a+4b+c=0,即c=-4b-a,∴|m-n|=.令t=,则|m-n|=,∴当t=-时,|m-n|的最小值为,故选B.\n8.B 解析由于a,b,c是正实数,所以不等式可化为m≥-,而,因此-≤-,当且仅当a2==c2,即b=a=c时,等号成立,故-的最大值为-,因此m≥-,即实数m的取值范围是[-,+∞),故选B.9.AB 解析因为M={y|y=-ex+4}={y|y<4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x)]}={x|(x+2)(3-x)>0}={x|(x+2)(x-3)<0}={x|-2<x<3},所以N⊆M,∁RM={y|y≥4},∁RN={x|x≤-2或x≥3},所以∁RM⊆∁RN,M∩N≠⌀,故选AB.10.AC 解析因为<0,所以b<a<0.对于A,<0<,故A正确;对于B,因为b<a<0,所以|a|<|b|,即|a|+b<0,故B错误;对于C,由于b<a<0,故a-b>0,>0,所以a--b-=(a-b)+=(a-b)1+>0,所以a->b-,故C正确;对于D,由于b<a<0,所以b2>a2,所以lna2<lnb2,故D错误.故选AC.11.CD 解析对于p:-4<x<1,对于q:2ax<1.对于A,当a=-时,q:x>-1,p是q的既不充分也不必要条件,故A错误;对于B,当a=1时,q:x<,p是q的既不充分也不必要条件,故B错误;对于C,当a=时,q:x<1,p是q的充分不必要条件,故C正确;对于D,当a=0时,q:x∈R,p是q的充分不必要条件,故D正确.故选CD.12.BCD 解析由alog42+blog16可得,,即4a+b=,故A错误,B正确;因为=4a+b≥2⇒ab≤,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以ab\n的最大值为,故C正确;因为(4a+b)=5+≥(5+2)=,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以的最小值为,故D正确.故选BCD.13.0 解析因为2a2≥0,|a|≥0,所以a=-1,a+b=-1,所以b=0.14.0 解析命题p为真命题,即函数f(x)为偶函数,所以,因此|2x-m|=|2x+m|,故m=0.15.4 解析∵a>0,b>0,∴a+b>0.又ab=1,∴≥2=4,当且仅当a+b=4时,等号成立,结合ab=1,解得当a=2-,b=2+,或a=2+,b=2-时,等号成立.16.-∞,-∪(2,+∞) 解析∵y=-x2+2x+3在(-∞,0]上单调递增,y=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,-02+2×0+3=02+4×0+3,∴f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增.又不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,∴x+a>2a-x2,即a<x2+x在区间[a-1,a+1]上恒成立.当a+1≤-,即a≤-时,(x2+x)min=(a+1)2+a+1,∴(a+1)2+a+1>a,∴a∈R,∴a≤-;当a-1<-<a+1,即-<a<时,(x2+x)min=-2-,∴-2->a,∴a<-,∴-<a<-;当a-1≥-,即a≥时,(x2+x)min=(a-1)2+a-1,∴(a-1)2+a-1>a,∴a>2或a<0,∴a>2.综上,a<-或a>2.17.解(1)解不等式x2-2x-3>0得A={x|x<-1或x>3},所以(∁RA)={x|-1≤x≤3}.若a=1,则B={x|0<x<5},所以(∁RA)∩B={x|0<x≤3}.(2)选①:A∩B=B,则B⊆A.当B=⌀时,则有1-a≥2a+3,即a≤-;\n当B≠⌀时,则有此时两不等式组均无解.综上,所求实数a的取值范围是-∞,-.选②:A∪B=R,由于B={x|1-a<x<2a+3},则有解得a>2.故所求实数a的取值范围是(2,+∞).选③:A∩B=⌀,由于B={x|1-a<x<2a+3},所以当B=⌀时,则有1-a≥2a+3,即a≤-;当B≠⌀,则有解得-<a≤0.综上,所求实数a的取值范围是(-∞,0].18.解(1)若命题p为真命题,则有Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,即a2+6a+8≥0,解得a≤-4或a≥-2;若当k=0时,命题q为真命题,则x2-lnx-a≥0,即a≤x2-lnx在[1,2]上恒成立,令g(x)=x2-lnx,则g'(x)=x-≥0,且只有f'(1)=0,所以g(x)在[1,2]上单调递增,最小值为g(1)=,故a≤.因此当命题p和q都是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪-2,;(2)当命题q为真命题时,x2-lnx+k-a≥0在[1,2]上恒成立,由(1)可知a≤+k;当命题p为假命题时,由(1)可知-4<a<-2.由于“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,所以+k≥-2,解得k≥-.\n故实数k的取值范围是-,+∞.19.解f(x)=ax2+(a2-3)x-3a=(ax-3)(x+a).(1)若不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},则a<0,且-a=1,=-3,故a=-1.(2)不等式f(x)+x+a<0,即ax2+(a2-2)x-2a<0的解集中恰有2个整数,即不等式(ax-2)(x+a)<0的解集中恰有2个整数.又a为正整数,-a<x<,所以解集必含0,即两整数解为-1,0或0,1.当a>2时,整数解为-2,-1,0,不符合;故a=1或a=2.20.解(1)当x>0时,f(x)==x+,若m≤0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值,所以m>0,故f(x)=x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,f(x)取到最小值2=1,所以m=.(2)依题意,f(x)=作出函数f(x)的大致图象如下:方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0,即[f(x)-k][f(x)-k-1]=0,故f(x)=k或f(x)=k+1.方程恰好有4个不相等的实数根,作直线y=k和y=k+1,则两直线与函数有4个交点,结合图象可知解得0<k<1,故实数k的取值范围为(0,1).21.解(1)设甲工程队的总造价为y元,\n则y=3300×2x+400×+14400=1800+14400≥1800×2×+14400=28800,3≤x≤6,当且仅当x=,即x=4时,等号成立.故当左、右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28800元.(2)由题意可得1800+14400>对任意的x∈[3,6]恒成立.故,从而>a恒成立,令x+1=t,=t++6,t∈[4,7].又y=t++6在t∈[4,7]上单调递增,故ymin=12.25.所以a的取值范围为(0,12.25).22.解(1)f(x)=mx2-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1).当0<m<1时,f(x)<0的解集为x1<x<;当m>1时,f(x)<0的解集为x<x<1;当m=1时,f(x)<0无实数解.(2)当m=0时,f(x)=-x+1.对任意x∈[1,2],f(x)≤f(1)=0<2恒成立.当m>0时,函数f(x)的图象开口向上,若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,只需即解得m≤.故当0<m≤时,对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立.当m<0时,对任意x∈[1,2],x-1≥0,mx-1<0,f(x)=(mx-1)(x-1)≤0<2恒成立.综上可知,实数m的取值范围为-∞,.\n(3)若a,b,c为正实数,则由基本不等式得,a2+b2≥ab,b2+c2≥bc,两式相加得a2+b2+c2≥(2ab+bc),变形得,当且仅当a2=b2且c2=b2,即a=2c=b时,等号成立.所以f(2)=,即2m-1=,m=.
