课时规范练24 正弦定理和余弦定理及其应用基础巩固组1.(2021北京西城高三月考)在△ABC中,若b=4,c=3,cosB=-,则sinC的值等于( )A.B.C.D.2.(2021福建漳州高三期中)在△ABC中,c2=bccosA+accosB+abcosC,则此三角形必是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形3.在△ABC中,若B=2A,b=a,则cosA的值等于( )A.B.C.D.4.(2021安徽安庆高三期中)在△ABC中,若AB=2,AC=3,=3,则BC=( )A.B.C.D.5.(2021四川成都高三月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足6a=4b=3c,则的值为( )A.-2B.2C.-8D.86.在△ABC中,下列说法不正确的是( )A.若A>B,则|cosB|>|cosA|B.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形C.等式a=bcosC+ccosB恒成立D.若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=1∶1∶7.(2021天津耀华中学高三月考)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= . 8.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测\n量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于 . 9.在△ABC中,AB=2,若,则A的最大值是 . 综合提升组10.(2021福建厦门高三月考)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且=2+,则B的大小为( )A.B.C.D.11.如图,在△ABC中,cos∠BAC=-,AC=2,D是边BC上的点,且BD=2DC,AD=DC,则AB等于 . 12.(2021广东广州高三二模)如图,在四边形ABCD中,CD=3,BC=,cos∠CBD=-.(1)求∠BDC;(2)若∠A=,求△ABD周长的最大值.\n创新应用组13.(2021河北石家庄高三月考)设△ABC的面积为S,若4cos2A-1=cos2B+2cos2C,则的最大值为( )A.B.C.D.14.(2021重庆一中高三月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a2=(c+b)(c-b),则tanA·tanB的取值范围是 . \n课时规范练24 正弦定理和余弦定理及其应用1.C 解析:由正弦定理得,由于cosB=-,所以sinB=,于是sinC=,故选C.2.B 解析:由c2=bccosA+accosB+abcosC,则c2=bc·+ac·+ab·,即c2=,整理可得a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,故选B.3.D 解析:由B=2A得sinB=sin2A,即sinB=2sinAcosA,所以cosA=,故选D.4.B 解析:由AB=2,AC=3,=3,可得2×3×cosA=3,所以cosA=.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=22+32-2×2×3×=7,故BC=,故选B.5.B 解析:由于·cosC=-8cosC,而cosC==-,故=-8×-=2,故选B.6.B 解析:对于A,在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB>0,所以cos2B>cos2A,可得|cosB|>|cosA|,故选项A正确;对于B,由余弦定理可得cosC=>0只能判断角C为锐角,但得不出△ABC为锐角三角形,故选项B不正确;对于C,由正弦定理可得sinA=sinBcosC+sinCcosB,右边sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA等于左边,显然成立,故选项C正确;对于D,因为A∶B∶C=1∶1∶4,所以A=B=,C=,由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC==1∶1∶,故选项D正确,故选B.7.1 解析:=1.\n8. 解析:依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为xm/s,因为AB=1040m,BC=500m,所以,解得AC=1260.在△ABC中,由余弦定理得,cos∠BAC=,所以sin∠BAC=.9. 解析:因为,所以abcosC=-,由余弦定理得ab·=-,得a2+b2=3.由余弦定理可得cosA=≥2,当且仅当,即b=时,等号成立,此时cosA取得最小值.又因为y=cosx在(0,π)上单调递减,所以A的最大值是.10.B 解析:因为=2+,所以=2+,即=2-,所以sinAcosB=2sinCcosB-sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB,即sin(A+B)=2sinCcosB,所以sinC=2sinCcosB.又C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosB=.又B∈(0,π),所以B=,故选B.11.3 解析:设AD=m,则有CD=m,BD=2m,BC=3m.在△ABC中,由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,得9m2=AB2+4+AB.在△ADB中,由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,得AB2=5m2+4m2cos∠ADC.在△ADC中,由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,得4=2m2-2m2cos∠ADC,消去cos∠ADC,得AB2+8=9m2,从而得AB2+8=AB2+4+AB,解得AB=3.\n12.解(1)在△BCD中,∵cos∠CBD=-,∴sin∠CBD=,由正弦定理得,∴sin∠BDC=.又∠CBD为钝角,∴∠BDC为锐角,∴∠BDC=.(2)在△BCD中,由余弦定理得cos∠CBD==-,解得BD=4或BD=-5(舍去).在△ABD中,∠A=,设AB=x,AD=y.由余弦定理得cosA=,即x2+y2-16=xy,整理得(x+y)2-16=3xy.由基本不等式得(x+y)2-16=3xy≤,即≤16,所以(x+y)2≤64,当且仅当x=y=4时,等号成立,即(x+y)max=8,所以(AB+AD+BD)max=8+4=12,故△ABD周长的最大值为12.13.C 解析:因为4cos2A-1=cos2B+2cos2C,所以4(1-2sin2A)-1=1-2sin2B+2(1-2sin2C),整理得4sin2A=sin2B+2sin2C,即4a2=b2+2c2,a2=b2+c2.于是cosA=,当且仅当b=c时,等号成立.因为,所以当cosA=时,取得最大值,故选C.14.0, 解析:由题意得3a2=(c+b)(c-b),根据余弦定理得bcosC+a=0,所以由正弦定理得sinBcosC+sinA=0,即sinBcosC+sin(C+B)=0,化简得tanC=-2tanB.又0<B<π,所以tan2B>0.又tanA·tanB=-tan(B+C)·tanB=-·tanB=-·tanB=\n,所以0<tanA·tanB<.
