2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第五单元三角函数B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和B．和2C．和D．和22．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A．B．C．D．3．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为4．（2021·全国高考真题）若，则（）A．B．C．D．5．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（）\nA．B．C．D．6．（2021·全国高三模拟（理））已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．（2021·浙江温州市·温州中学高三模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A．B．C．D．8．（2021·天津市南开区高三模拟）函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：①；②函数的最小正周期为；③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称其中正确结论的个数是（）．\nA．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2020·海南高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A．B．C．D．10．（2021·重庆高三模拟）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴心距离水面的高度为2米，设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（）(参考数据：)A．，其中，且\nB．，其中，且C．当时，盛水筒再次进入水中D．当时，盛水筒到达最高点11．（2021·重庆一中高三模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（）A．B．C．D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为12．（2021·重庆高三三模）定义在实数集的函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A．的振幅为B．的频率为C．的单调递增区间为\nD．在上只有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．14．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．15．（2021·陕西西安市高三模拟（理））在中，角，，的对边分别为，，．已知，则的最小值为_______．16．（2021·全国高三模拟（理））已知函数在上恰有10个零点，则m的取值范围是________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.\n18．（2021·重庆高三模拟）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若的外接圆的直径为，且锐角满足，求面积的最大值.19．（2021·上海高三三模）如图，某机械厂要将长，宽的长方形铁皮进行剪裁，已知点为的中点，点在边上，剪裁时先将四边形沿直线翻折到处(点､分别落在直线下方点､处，交边于点)再沿直线剪裁，若设.（1）试用表示的长，并求出的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.\n20．（2021·重庆高三模拟）如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且OH＝4km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD都是学校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分别在公路OM，ON上，且AB与圆弧CD相切，设∠OAB＝θ，△AOB的面积为Skm2．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，△AOB面积S为最小，政府投资最低？21．（2021·浙江高三模拟）已知函数的图象经过点，．\n（1）求的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为奇函数，且，求的值．22．已知且满足：.(1)求的值；(2)已知函数，若方程在区间内有两个不同的解，求实数的取值范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和B．和2C．和D．和2【答案】C【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．\n2．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.\n故选：B.3．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为【答案】D【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.4．（2021·全国高考真题）若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．5．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（）A．B．C．D．\n【答案】A【解析】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.6．（2021·全国高三模拟（理））已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的图象关于原点对称，，即，因为区间上是减函数，所以在是增函数，\n令，解得，又是含原点的增区间，所以令，则，所以，又，则解得，在上的图象与直线有且仅有一个交点，即在上仅有一个最小值，所以在仅有一个最大值，由正弦函数的性质，令，即，所以有，解得，综上可得，即的最大值为.故选：B.7．（2021·浙江温州市·温州中学高三模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A．B．C．D．\n【答案】B【解析】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.设题干中函数图象与轴交点的横坐标分别为，且，且.对于B，令，即，作出和的函数图象，如图所示：由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，符合题意；对D，令，即，作出和的函数图象，如图所示：由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，故D不符合题意.故选：B.\n8．（2021·天津市南开区高三模拟）函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：①；②函数的最小正周期为；③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称其中正确结论的个数是（）．A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】解：由图可知：，，即，又，，由图可知：，又，，且，\n，故，当时，，解得：，满足条件，，故，对①，由上述可知①错误；对②，，的最小正周期为，故②正确；对③，令，即，令，此时单调递增区间为，且，故③正确；对④，，不是对称中心，故④错误；故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2020·海南高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）\nA．B．C．D．【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.10．（2021·重庆高三模拟）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴心距离水面的高度为2米，设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（）(参考数据：)A．，其中，且\nB．，其中，且C．当时，盛水筒再次进入水中D．当时，盛水筒到达最高点【答案】BD【解析】由题意知，如上图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，筒车的角速度，令且，∴，故，而，∴，故A错误，B正确；当时，，且，，∴，故盛水筒没有进入水中，C错误；当时，，且，即，∴，故盛水筒到达最高点，D正确.故选：BD11．（2021·重庆一中高三模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单\n位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（）A．B．C．D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为【答案】ABD【解析】解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，则，故B正确；振幅A为筒车的半径，即，故A正确；由题意，t=0时，d=0，，即，，∴，故C错误；，由d=6，得，得∴当k=0时，t取最小值为，故D正确．故选：ABD．12．（2021·重庆高三三模）定义在实数集的函数\n的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A．的振幅为B．的频率为C．的单调递增区间为D．在上只有一个零点【答案】AD【解析】由题意，可得，所以，可得，所以，所以函数的振幅为3，故A正确；函数的频率为，故B错误；因为，所以，因为，所以，即，所以，令，可得，所以的单调递增区间为，而选项C只是其中一个单调递增区间，故C错误；由，解得，所以函数在上只有一个零点.故选：AD\n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．【答案】（满足即可）【解析】与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为.故答案为：（满足即可）.14．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】【解析】设，由题意，，所以，\n因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.15．（2021·陕西西安市高三模拟（理））在中，角，，的对边分别为，，．已知，则的最小值为_______．【答案】【解析】解：由题意可知，，\n化简得，所以．根据正弦定理：，可得①．，由①可得，所以，当时，等号成立．所以的最小值为．故答案为：．16．（2021·全国高三模拟（理））已知函数在上恰有10个零点，则m的取值范围是________________．【答案】【解析】∵，∴，∵在上恰有10个零点，∴在上恰有10个解，∴，解得，\n故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.18．（2021·重庆高三模拟）已知函数.\n（1）求的单调递增区间；（2）若的外接圆的直径为，且锐角满足，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）最大值为.【解析】解：（1），令，解得单调递增区间为，；（2），解得.又令外接圆半径为，则，所以.所以，又因为，所以(当且仅当)所以，所以面积最大值为.19．（2021·上海民办南模中学高三三模）如图，某机械厂要将长，宽的长方形铁皮进行剪裁，已知点为的中点，点在边上，剪裁时先将四边形沿直线翻折到处(点､分别落在直线下方点､处，交边于点)再沿直线剪裁，若设.\n（1）试用表示的长，并求出的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.【答案】（1）；（2）当时，沿直线剪裁，四边形面积最大，最大值为，理由见解析.【解析】（1）因为，且翻折的对称性可知,又根据,所以，则,故,又因为，所以，又,所以，又点､分别落在直线下方点､处，所以，所以；（2）由（1）知，，则，，所以四边形面积为，令，所以，解得（舍负），当且仅当时，四边形面积有最大值.20．（2021·重庆高三模拟）如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且OH＝4km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD都是学校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分\n别在公路OM，ON上，且AB与圆弧CD相切，设∠OAB＝θ，△AOB的面积为Skm2．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，△AOB面积S为最小，政府投资最低？【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）以点O为坐标原点建立如图直角坐标系，则，在中，设，又，故，所以直线AB的方程为，即，因为直线AB与圆H相切，所以H到直线AB的距离等于半径2，即①，又点H在直线AB的上方，故，所以①式可化简为，即，故,\n所以△AOB的面积为S;即S关于θ的函数解析式为；（2）令，，则，且，所以，令，分母，其中，所以时，分母部分最大，面积最小，此时，即.所以时△AOB面积S为最小，政府投资最低.21．（2021·浙江高三模拟）已知函数的图象经过点，．（1）求的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为奇函数，且，求的值．【答案】（1）；（2）．\n【解析】解：（1）因为点在函数的图象上，所以，又，所以．因为点在函数的图象上，所以，则，或，，则，或，．又，所以，因此．（2）由（1）及三角函数图象的平移变换法则得，因为为奇函数，所以，，则，，因为，所以，从而，则．因为，所以，又，所以，因此，从而．22．已知且满足：.(1)求的值；(2)已知函数，若方程在区间内有两个不同的解，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).\n【解析】(1)由得，，则；(2)因，令，则，，时，，，即时，，，是递增的，函数值从增到1，，是递减的，函数值从1减到，方程在区间内有两个不同的解，即图象与直线y=a的两个不同的公共点，则，所以实数的取值范围是.
