易错点5基本初等函数一、单项选择题 1.形如 如 的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们称其为“囧 ݔ ȁ 函数” 若函数 ݔ ݔ 如 ݔ ，且 有最小值，则 如 ， 如 时的“囧函数”图象与函数 如log ݔ 图象的交点个数为 A.1B.2C.4D.6 2.形如 如 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生ݔȁ 动地称为“囧函数” 若函数 ݔ ݔ 如ݔ 且 有最小值，则当 如 如 时的“囧函数”与函的图象交点个数为 A.1B.2C.4D.63.若集合 如 如ݔ log ݔ 如 ， hȁݔ ，则 如 A. ǡ B. h ǡ C. h ǡ D. ǡ 4.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是 如 2， ，ǡ 的概 率为lg ，这被称为本特福定律．以此判断，一个数的首位数是1的概率约为 A. ％B. ％C. ％D. ％5.已知集合 如 ݔͳݔͳ ȁݔ ݔ 如 ， ͳ ȁݔ log ݔ ，若 如 ，则实数m的取值范围为 A. h B. h C. ȁ h D. ȁ h ȁݔ ݔȁ 在区间 6.若函数 ݔ 如log 单调递减，则a的取值范围是 A. B. C. D. h h7.正数ݔ则， log ݔ log如 ݔ log足满 ݔ 的取值范围是 A. ǡ B. ǡ C. D. 8.已知命题 ݔ ݔ ݔ，命题 若 䁨中， 如 如 如 ，则 䁨 䁨 如ȁ ，则下列命题正确的是 A. B. ¬ C. ¬ D. ¬ ¬ 二、多项选择题\nݔ ݔ 9.如果一个函数 ݔ 在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函 数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是 A. ݔ 如 ݔB.ݔ ݔͳC. ݔ .D ݔ ݔ log如 ݔ 如 ݔ ݔ 10.下列判断中错误的是 A.函数 如 ݔ 是指数函数；B.函数 如ݔȁǡ ǡ ȁ ݔ 既是偶函数又是奇函数； C.函数 如的单调递减区间是；ݔD. 香 ． 11.若 ͳͳ，则下列结论中正确的是 A.log log B. log log C. log ͳ D. log log log log 三、填空题12.已知正数a，b，c满足h ȁ 如，则当a与c满足__________关系时，lg lg ȁ ʹ 的最大值为_________．13.函数的零点个数为_______． ݔ ݔ 14.若ݔ ݔ ȁ 如，则 如__________；ݔ 15.设x， ， ， ，若 ݔ 如ݔ如 如ǡ 则 的最大值为_________．ݔ 四、解答题16.已知函数 ݔh ݔ ȁ ݔݔ logh如 ݔ ． Ⅰ 当ݔ 数函求，时 如ݔ 在 上的值域； Ⅱ 若函数 ݔ 在 h 上单调递增，求实数m的取值范围．\n17.设函数 ݔݔȁ ȁ ݔ 如ݔ 是偶函数， 求不等式 ݔ 的解集； 设函数 ݔ在ݔ 若， ȁݔ ȁݔȁ ȁݔ 如ݔ 上有零点，求实数n的取值范围．18.已知函数 ݔ log如 ݔ 的图像经过点 和 ， 如 求 ； 设数列 的前n项和为 ， 如 ，求 的前n项和 ． ݔȁݔ 19.设函数 ݔ 如 ȁ 且 是定义域为R的奇函数， 如． Ⅰ 若 ݔ ݔ ݔȁh ，求m的取值范围； Ⅱ 若 ݔ ݔ ȁݔ ȁ ݔ 如 ݔ 在 上的最小值为ȁ ，求m的值．\n20.已知函数 ݔ 如 ݔ 其中a，b为常量，且 ， 的图象经过点 ǡ ， h ． 求 ݔ 的表达式；ݔݔ 若不等式 ȁݔ在， ݔ ȁ 时恒成立，求实数m的取值范围． 已知数列 的前n项和为 ，满足 如 ， h如 ǡ， 是等比数列， 求数列MQ的通项公式； 若 ，设 如log ，求数列 的前 䁪 䁪 ȁ ǡȁ䁪䁪 如项和 一、单项选择题 1.形如 如 的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们称其为“囧 ݔ ȁ 函数” 若函数 ݔ ݔ 如 ݔ ，且 有最小值，则 如 ， 如 时的“囧函数”图象与函数 如log ݔ 图象的交点个数为 A.1B.2C.4D.6【答案】C 【解析】当 如 ， 如 时， 如 而 ݔ ݔ 如 ݔ ，且 有最小值，故 ． ݔ ȁ 令 ݔ ， ݔ log如 ݔ 如，在同一坐标系中作出它们的大致图象如图所示， ݔ ȁ 共4个不同的交点，故选C．\n 2.形如 如 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生ݔȁ 动地称为“囧函数” 若函数 ݔ ݔ 如ݔ 且 有最小值，则当 如 如 时的“囧函数”与函的图象交点个数为 A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】 函数 ݔ ݔ 如ݔ 有最小值， ， 当 如 如 时， 如如，ݔȁ ݔȁ 画出函数 如与 如log ݔ的图象在同一坐标系数内的图象：ݔȁ 结合图形，得到交点个数有4个．故选C． 已知log log ，则 的取值范围是 A. ͳ ͳ B. ͳ ͳ C.ͳ ͳ ͳ D.ͳ ͳ ͳ 【答案】C【解析】 ，，， 对数函数，它在定义域是减函数， ，\n即ͳ ͳ ͳ ．故选C．3.若集合 如 如ݔ log ݔ 如 ， hȁݔ ，则 如 A. ǡ B. h ǡ C. h ǡ D. ǡ 【答案】A【解析】因为集合 如 如ݔȁh 如 ， 如 ݔͳ ݔ 如 ݔ log ݔ ǡ ，所以 如 ݔͳ ݔ ǡ 如 ǡ ．故选A．4.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是 如 2， ，ǡ 的概 率为lg ，这被称为本特福定律．以此判断，一个数的首位数是1的概率约为 A. ％B. ％C. ％D. ％【答案】D【解析】根据题意，一个数的首位数是1的概率为lg ， 而如log ǡ ͳlg ͳlog 如，h 故选D．5.已知集合 如 ݔͳݔͳ ȁݔ ݔ 如 ， ͳ ȁݔ log ݔ ，若 如 ，则实数m的取值范围为 A. h B. h C. ȁ h D. ȁ h 【答案】B【解析】依题意， 如 ݔͳ ݔ 如 hͳ ȁݔͳ ݔ 如 ͳ ȁݔ log ݔͳ ，因为 如 ，即 香 ，ݔȁ 解得 ݔ 故 ݔ h，故选B．\n ȁݔ ݔȁ 在区间 6.若函数 ݔ 如log 单调递减，则a的取值范围是 A. B. C. D. h h【答案】C ȁݔ ݔȁ 在 【解析】 ݔ 如log 单调递减， 即䁪如ȁݔ ݔȁ 在 是单调递增且ͳ䁪 ， 故ȁ ȁ ， ȁ ȁ 解得 ， h故选C．7.正数ݔ则， log ݔ log如 ݔ log足满 ݔ 的取值范围是 A. ǡ B. ǡ C. D. 【答案】A【解析】由正数x，y满足log ݔ如 ݔ ， log ݔ log如 ݔ ，ݔ ݔ 而ݔ当仅且当 ݔ则， ݔ如 时取等号． h䁪 令ݔ 如䁪䁪 ，则䁪 化为䁪 ȁh䁪ȁ ，解得䁪 ǡ或䁪 ȁ ．h 䁪 ， 取䁪 ǡ．故选A．8.已知命题 ݔ ݔ ݔ，命题 若 䁨中， 如 如 如 ，则 䁨 䁨 如ȁ ，则下列命题正确的是 A. B. ¬ C. ¬ D. ¬ ¬ 【答案】B【解析】命题，由指数函数图像及其性质可得，当ݔ ͳݔ ，时ͳݔ，即命题p为假命题； ȁ ǡhȁhǡ 命题 若 䁨中， 如 如 如 ，由余弦定理得 䁨如如如， 即，故命题q为真命题． 命题为真命题，\n故选B．二、多项选择题ݔ ݔ 9.如果一个函数 ݔ 在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函 数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是 A. ݔ 如 ݔB.ݔ ݔͳC. ݔ .D ݔ ݔ log如 ݔ 如 ݔ ݔ 【答案】AD【解析】对于A、函数 ݔ 的定义域为R， ݔ ݔ ， ݔ 如 ݔ ݔ ݔ 如 如 ， 当且仅当 ݔ即， 如ݔ如 时，等号成立，因此A是下凸函数；对于B、函数 ݔ 的定义域为R，当ݔ如，时，，而 如 如 ，hhhh ݔ ݔ 即ͳ ，因此B不是下凸函数； 对于C、函数 ݔ 的定义域为 ， ݔ 当ݔ如 ， 如 时，如log log 如， ݔ ǡ 而 如 如log 如log log 如， h h ݔ ݔ 即ͳ ，因此C不是下凸函数； 对于D、函数 ݔ 的定义域为R，ݔ ݔ ȁ ，则 ȁ ， ݔ ݔ 如ݔ 如， ݔ ݔ 而 如， \n ݔ ݔ 即如 ． ݔ ȁ ， ݔ ݔ 如ݔ 如， ݔ ݔ ݔ ݔ 而 当ͳ时， 如ͳ， ݔ ݔ 即ͳ ． ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ 当 时， 如 如ͳ， ݔ ݔ 即ͳ ； ݔ ݔ ，则 ݔ 如 ݔ如 ݔ ， ݔ ݔ 而 如 如ݔ ， ݔ ݔ 即如 ． 综上所述，D是下凸函数．故选AD．10.下列判断中错误的是 A.函数 如 ݔ 是指数函数；B.函数 如ݔȁǡ ǡ ȁ ݔ 既是偶函数又是奇函数； C.函数 如的单调递减区间是；ݔD. 香 ．【答案】AC【解析】对于A，由指数函数的定义可知，错误；对于B，使式子有意义得ݔ 如 ǡ， 如，既是奇函数又是偶函数，正确； 对于C，函数 如在整个定义域上不单调，错误；ݔ对于D，空集是任何集合的子集，正确．故选AC． 11.若 ͳͳ，则下列结论中正确的是 \nA.log log B. log log C. log ͳ D. log log log log 【答案】ABC【解析】解法一： 常规做法 ， ͳ ͳ ͳ ，则log ，ͳlog ͳ ，log log 如 ， log log ，故A正确．由基本不等式得：log log 如 ，故B正确． ͳ log ͳ ，故C正确． log log 如 log log ，故D错误．解法二： 特殊值代入法 ， ͳ ͳ ͳ ，不妨令 如， 如，则log 如 ，log 如，易得A，B，C均正确，只有D错误．故选：ABC．三、填空题12.已知正数a，b，c满足h ȁ 如，则当a与c满足__________关系时，lg lg ȁ ʹ 的最大值为_________．【答案】h 如 ȁ 【解析】由题意：h ȁ 如，变形为：h 如 ， h ，当且仅当h 如 时，取等号． ；即 ȁ 那么：ʹ ʹ ȁ ʹ 如lg lg如ʹ 如ȁ 故答案为h 如 ȁ 13.函数的零点个数为_______．【答案】1【解析】函数定义域为 ݔ 时 ݔȁ 恒成立，只有当ݔ ln，时 如ݔȁ 如，所以 ݔ 在 上只有一个零点，\n故答案为1． ݔ ݔ 14.若ݔ ݔ ȁ 如，则 如__________；ݔ 【答案】 ȁ 【解析】 ݔ ݔ ȁ 如， ݔݔ ȁ 如， ݔ解得：如 或ȁ ， ݔ ݔݔ 当如 时，原式如 ݔ 如如； ݔhȁǡ 当如ȁ 时，原式如如ȁ． h 故答案为： ȁ． 15.设x， ， ， ，若 ݔ 如ݔ如 如ǡ 则 的最大值为_________．ݔ 【答案】3【解析】 ， ， ݔ如 如 ， ݔʹ 如 ʹ 如ʹ ， ʹ ʹ lg lg lg 如 如 如如 ，ݔ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ 当且仅当 如 如 时取等号． 的最大值为3．ݔ 故答案为3．四、解答题16.已知函数 ݔh ݔ ȁ ݔݔ logh如 ݔ ． Ⅰ 当ݔ 数函求，时 如ݔ 在 上的值域； Ⅱ 若函数 ݔ 在 h 上单调递增，求实数m的取值范围．\n【答案】解： Ⅰ 当ݔ ȁ ݔ h ʹ如 ݔ 数函，时 如ݔ h ， ݔ ȁݔ如䁪令，上 ݔ h，最小值为 ȁ h如 ， 最大值为hȁh h如h， 故函数 ݔ 在 上的值域为 ʹ h ． Ⅱ 若函数 ݔ 在 h 上单调递增，因 如loghݔ在 上单调递增，令䁪如ݔh ݔ ȁ ݔݔ在 h 上单调递增，ݔ 故有 h，求得ݔ ，ݔ ǡݔȁ hݔ 故要求的实数m的取值范围为 ． 17.设函数 ݔݔȁ ȁ ݔ 如ݔ 是偶函数， 求不等式 ݔ 的解集； 设函数 ݔ在ݔ 若， ȁݔ ȁݔȁ ȁݔ 如ݔ 上有零点，求实数n的取值范围．【答案】解： 因为 ݔ 如ݔȁ 以所，数函偶是ݔ恒成立，即 ȁݔȁ ȁ ݔ 如ݔ ȁ ݔ恒成立．也即 ȁ ݔȁ 如恒成立，所以 如 ，由 ݔ或 ȁͳݔ即， ݔ 或 ͳݔ 得解， ݔ ȁݔ ，得 ݔȁ ݔ 如 ݔ ， 所以不等式 ݔ或 ȁͳݔ ݔ 为集解的 ݔ ． ݔ ȁݔȁ ȁݔ 如ݔȁ 如 ݔ ȁ ȁݔ ȁݔȁ ȁݔȁ ݔȁ 如 ݔ在 ȁݔ ȁ ݔ ȁݔȁ ȁݔ 上有零点，即为 ݔ在如 ȁݔ ȁ ݔ ȁݔȁ ȁݔ 上有解．\n因为ݔȁ ȁݔ 以所， ݔ ， ݔ ȁ ݔ 所以条件等价于 如在ݔ 上有解， ݔȁ ȁݔ 令 如 ݔ，则 ，令 如 ȁ， 则u在 上单调递增， h因此 ， 如． hh 设 如如 ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数 在 如 时取得最小值，且最小值 如h，所以 h ，从而满足条件的实数n的取值范围是 h ．18.已知函数 ݔ log如 ݔ 的图像经过点 和 ， 如 求 ； 设数列 的前n项和为 ， 如 ，求 的前n项和 ． ʹ 如 【答案】解： 由题意得，解得 如 ， 如ȁ ，ʹ 如 所以 如 ȁ ， ； 由 易知数列 为以1为首项，2为公差的等差数列， 所以 如 如 ， 如 ȁ 所以 如 前n项和 如 ȁ ȁ ȁ ȁ h h ȁ 如ȁȁ 如 ȁȁ． ȁ ݔȁݔ 19.设函数 ݔ 如 ȁ 且 是定义域为R的奇函数， 如． Ⅰ 若 ݔ ݔ ݔȁh ，求m的取值范围；\n Ⅱ 若 ݔ ݔ ȁݔ ȁ ݔ 如 ݔ 在 上的最小值为ȁ ，求m的值．【答案】解： Ⅰ 由题意，得 如，即 ȁ 如，解得 如 ， ȁ 由 如，得 ȁ 如，解得 如 ， 如ȁ 舍去 ， 所以 ݔȁ ȁݔ 如 ݔ为奇函数且是R上的单调递增函数．由 ݔȁh ݔ ݔ 得， hȁݔ ݔ ݔ ，所以ݔ或hȁͳݔ得解，ݔȁh ݔ ݔ ．所以m的取值范围为 ȁ ȁh ． Ⅱ ݔȁ ȁݔ ݔ ȁ ݔȁ ȁݔ 如 ݔȁ ȁݔ ݔ ȁݔ ȁ ݔ 如 ݔ ，ݔȁ ȁݔ ȁ ȁ 如 令䁪如 ，由ݔ 所以䁪 ， 所以 如䁪 ȁ ݔ如䁪轴称对， 䁪ݔ， ݔ得解， ȁ如 ݔ ȁݔ如 ݔ ，时 ݔ如 ， ǡ ݔ ȁ如 ݔ ȁ如 ݔ ，时ͳݔ如 舍去 ， h 所以ݔ如 ．20.已知函数 ݔ 如 ݔ 其中a，b为常量，且 ， 的图象经过点 ǡ ， h ． 求 ݔ 的表达式；ݔݔ 若不等式 ȁݔ在， ݔ ȁ 时恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】解： 因为 ݔ 的图象过 ǡ ， h ， 如ǡ 则所以 如h，又 ， 如 h 所以 如 ，则 如 所以 ݔ 如 ݔ； 由 知 如 ， 如 ，则ݔ ȁ 时，ݔݔ ȁݔ 恒成立， ݔݔ 即ݔ在 ݔ ȁ 时恒成立， ݔݔ 又因为 如与 如均为减函数， ݔݔ 所以 如 也是减函数， ݔ ݔ 所以当ݔ如 时， 如 有最小值． ǡ\n 所以ݔ ，即m的取值范围是 ȁ ．ǡǡ21.已知数列 的前n项和为 ，满足 如 ， h如 ǡ， 是等比数列， 求数列MQ的通项公式； 若 ，设 如log ，求数列 的前 䁪 䁪 ȁ ǡȁ䁪䁪 如项和． 【答案】解： 设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ， 如 ， h如 ǡ， 如h， h如 ， ȁ ȁ h 易知 ， 如h ，如 ， ȁ ȁ 由 ⸰ 得： 如 ，解得 如 ， 当 如 时， 如；当 如ȁ 时， 如ȁ ， h ȁ ȁ 如 ，或 如ȁh ȁ ， 即 如ȁ ，或 如ȁ ȁ ȁ ； ， 如ȁ ， 如log 如 ， 如如ȁ， 数列 的前n项和如ȁ ȁ ȁ h 如ȁ如
