易错点17解三角形一、单选题1.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ᦙ䁪， ᦙ㈴， cos 䁖 䀀ᦙ，则c等于䁪A.4B. C.3D. 2.已知 中，满足 ᦙ㈴， ᦙ 的三角形有两解，则边长a的取值范围是䁪 䁪A. ㈴B. ㈴C.㈴ D.㈴ ㈴䁪㈴㈴䁪3.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ㈠ cos ᦙ ㈴ ㈠ 䀀cos ，则 为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 4. 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为䁪A.B.C.D. ㈴5.满足条件 ᦙ ， ᦙ ㈴， ᦙ °的 的个数是A.1B.2C.无数个D.不存在6.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， 若 ᦙ ， ᦙ ，BC边上的中线 AD的长为，则边长 ᦙ㈴ A.3B.4C.D.9 sinB ㈠cosB7.在 ABC中， , , 分别为内角 , , 所对的边， ᦙ 且满足ᦙ，若点O是 ABCsinAcosA外一点，∠AOBᦙ ，OAᦙ㈴，OBᦙ ，则平面四边形OACB面积的最大值是 䁖 䁪 䁖 䁪 䁖 A.B.C.3D. ㈴8.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点 ， ㈴构成的三角形 ㈴面积约为 䁪 万千米䀀㈴，∠ ㈴ᦙ ，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为䁪\n ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴A.䁖ᦙ B.䁖ᦙ C.䁖ᦙ D.䁖ᦙ 䁪 ㈴ ×䁪 䁪 ㈴ ㈴ ㈴ ×䁪 ㈴䁪 ×㈴ 二、填空题9.在 中，若 ㈴ᦙ ㈴䁖 䁖 ㈴，则 ᦙ 10.在 中，已知 ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ，则AC边上的中线长为．11.在正方体 ܥ㈠ ܥ 中，点M，N分别是 ， 的中点，则CM和ܥ 所成角的余弦值为________．sin sin 䁪 ， ᦙ ， 䁖 ᦙ ，12.在锐角 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ᦙsin ㈴则 的面积为______．三、解答题13.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，㈴ ሺ ㈠ 䀀ᦙ ㈠ ． 䀀求角B的大小； ㈴䀀在锐角三角形 ݏ ݏ ݏ中，角 ݏ， ݏ， ݏ的对边分别为 ݏ， ݏ， ݏ，若 ݏᦙ㈴䁪, ݏᦙ 䁖㈴,∠ ݏᦙ㈴∠ ，求三角形 ݏ， ݏ， ݏ的内角平分线 ݏܥݏ的长．14.如图，EFGH是矩形， 的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点 的 的长度满足需求䀀 设∠ ᦙ ，∠ ᦙ ，∠ ᦙ ，且满足 ሺ 䁖 ሺ ᦙ ሺ 䁖 䀀． 䀀求 ； 䁪 ㈴䀀若 ᦙ ， ‴ᦙ䁪，求䁖的最大值． \n15.已知向量 ᦙ ሺ , 䀀， ᦙ 䁪 , 䀀， 䀀ᦙ ． 䀀求 䀀的单调递增区间； ㈴䀀在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且 ᦙ , ሺ ᦙ䁪 ሺ ，若 䀀ᦙ ，求 的周长．16.如图所示，某镇有一块空地 ，其中 ᦙ䁪 ݏ， ᦙ䁪䁪 ݏ，∠ ᦙ 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 䳌 ，其中M，N都在边AB上，且∠䳌 ᦙ䁪 ，挖出的泥士堆放在 䳌地带上形成假山，剩下的 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在 的周围安装防护网．䁪 䀀当 䳌ᦙ ݏ时，求防护网的总长度；㈴ ㈴䀀为节省投入资金，人工湖 䳌 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 䳌 的面积最小？最小面积是多少？一、单选题1.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ᦙ䁪， ᦙ㈴， cos 䁖 䀀ᦙ，则c等于䁪\nA.4B. C.3D. 【答案】D 【解析】解： cos 䁖 ᦙ䁪 ᦙ㈠䁪 在 中， ᦙ䁪， ᦙ㈴， ᦙ㈠䁪㈴㈴㈴ ᦙ 䁖 ㈠㈴ ᦙ 䁖 ㈠㈴×䁪×㈴× ㈠䀀ᦙ ， ‸ ．䁪 ᦙ 故选：D2.已知 中，满足 ᦙ㈴， ᦙ 的三角形有两解，则边长a的取值范围是䁪 䁪A. ㈴B. ㈴C.㈴ D.㈴ ㈴䁪㈴㈴䁪【答案】C【解析】解：若 有两解， ᦙ㈴， ᦙ ，由正弦定理及正弦函数的图像和性质，䁪 sin ㈴则需，解得㈴ ‸ ‸㈴ 䁪解得㈴ ，䁪故选：C．3.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ㈠ cos ᦙ ㈴ ㈠ 䀀cos ，则 为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴ ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴【解析】解：余弦定理得cos ᦙ,cos ᦙ，㈴ ㈴ ㈴㈠ ㈴䁖 ㈴ ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴ ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴代入 ㈠ cos ᦙ ㈴ ㈠ 䀀cos 得：ᦙ㈴ ㈠，㈴ ㈴ ㈴ ㈴㈠ ㈴䁖 ㈴ ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴即ᦙ，㈴ ㈴ \n则有 ᦙ 或 ㈴㈠ ㈴䁖 ㈴ᦙ ，故 为等腰或直角三角形．故选D． 4. 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为䁪A.B.C.D. ㈴【答案】C【解析】解：由余弦定理得：三角形第三边长为㈴㈴䁖䁪㈴㈠㈴×㈴×䁪× ᦙ䁪，䁪且第三边所对角的正弦值为 ㈠ ㈴㈴㈴，䀀ᦙ䁪䁪䁪所以由正弦定理可知㈴体ᦙ㈴㈴，䁪 ㈴求得体ᦙ 故选C．5.满足条件 ᦙ ， ᦙ ㈴， ᦙ °的 的个数是A.1B.2C.无数个D.不存在【答案】D【解析】解： ᦙ ， ᦙ ㈴， ᦙ °， sin ㈴㈴ 由正弦定理可得：sin ᦙᦙ×ᦙ‸ ，显然不成立， ㈴ 所以这样的三角形不存在．故选D．6.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， 若 ᦙ ， ᦙ ，BC边上的中线 AD的长为，则边长 ᦙ㈴ A.3B.4C.D.9 【答案】D【解析】解：如图， ܥ是BC边上的中线，\n 设 ܥᦙܥ ᦙ ，则 ᦙ ᦙ㈴ ． ᦙ ， ᦙ ， ܥᦙ，㈴ ㈴䁖 ㈴㈠ 䀀㈴在 ܥ中，cos ᦙ㈴．㈴× × 在 中，，㈴ 䁖 ㈠ 䁖 ㈴㈠ ，解得 ᦙ ． ᦙ㈴ ㈴ ᦙ㈴ ᦙ ．故选D．sinB ㈠cosB7.在 ABC中， , , 分别为内角 , , 所对的边， ᦙ 且满足ᦙ，若点O是 ABCsinAcosA外一点，∠AOBᦙ ，OAᦙ㈴，OBᦙ ，则平面四边形OACB面积的最大值是 䁖 䁪 䁖 䁪 䁖 A.B.C.3D. ㈴【答案】A【解析】解： 中， ሺ ㈠ ᦙ ，ᦙ， ሺ ሺ 䁖 ሺ ᦙ ሺ ，即sin 䁖 䀀ᦙsin ㈠ 䀀ᦙ ሺ ᦙ ሺ ， ᦙ ，又 ᦙ ， 为等边三角形． ᦙ 䁖 ᦙ ሺ 䁖 ㈴ sin㈴㈴䁪 䁪ᦙ×㈴× × ሺ 䁖 ㈴䁖 ㈴㈠㈴ 䀀㈴ \n 䁪ᦙ ሺ ㈠䁪 䁖 䁪ᦙ㈴ ሺ ㈠䀀䁖．䁪 ， ㈴ ㈠ ㈠ ，䁪䁪䁪 故当 ㈠ᦙ时，sin ㈠䀀取得最大值为1，䁪㈴䁪 䁪 䁖 䁪故 的最大值为㈴䁖ᦙ， 故选A．8.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点 ， ㈴构成的三角形 ㈴面积约为 䁪 万千米䀀㈴，∠ ㈴ᦙ ，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为䁪 ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴ ㈴A.䁖ᦙ B.䁖ᦙ C.䁖ᦙ D.䁖ᦙ 䁪 ㈴ ×䁪 䁪 ㈴ ㈴ ㈴ ×䁪 ㈴䁪 ×㈴ 【答案】A【解析】解：设 ᦙݏ， ㈴ᦙሺ，由椭圆定义可知：ݏ䁖ሺᦙ㈴ ，又椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，则 ㈠ ᦙ䁪 ，㈴㈴㈴ 在 ㈴中，由余弦定理得：㈴ ᦙݏ䁖ሺ㈠㈴ݏሺcos䁪，㈴ 由三角形 ㈴面积约为 䁪 万千米䀀，∠ ㈴ᦙ䁪，得：㈴ݏሺsin䁪ᦙ 䁪，ݏ䁖ሺᦙ㈴ ㈠ ᦙ䁪 ݏሺsinᦙ 䁪联立上述方程得：㈴䁪， ㈴ᦙ ㈴䁖 ㈴㈴㈴㈴ ㈴ ᦙݏ䁖ሺ㈠㈴ݏሺcos䁪 ㈴ᦙ 解得：． ㈴ᦙ䁪 ㈴故选A．\n二、填空题9.在 中，若 ㈴ᦙ ㈴䁖 䁖 ㈴，则 ᦙ 【答案】【解析】解：由 ㈴ᦙ ㈴䁖bc䁖 ㈴得：，由余弦定理得：，因为，则，故答案为．10.在 中，已知 ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ，则AC边上的中线长为．【答案】711.在正方体 ܥ㈠ ܥ 中，点M，N分别是 ， 的中点，则CM和ܥ 所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】解：取 的中点P，连接 ， 䳌ȀȀ ，且 䳌ᦙ ， 四边形 䳌 是平行四边形， ȀȀ䳌 ， ȀȀ ȀȀ ܥ ᦙ ᦙ ， 、ܥ 共面，设其交点为O，则∠ ܥ 是异面直线CM与ܥ 所成的角，设正方体的棱长为1，\n 䁪䁪 ᦙ䳌 ᦙ ㈴䁖 䳌㈴ᦙ㈴䁖ᦙ，ܥ ᦙ ᦙ， ㈴ 䁪㈴䁪㈴ 䀀䁖 䀀㈠ cos∠ ܥ ᦙ䁪䁪ᦙ，㈴×× 即直线CM与ܥ 所成角的余弦值是． 故答案为． sin sin 䁪 ， ᦙ ， 䁖 ᦙ ，12.在锐角 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ᦙsin ㈴则 的面积为______．䁪 【答案】 sin sin 䁪 sin 䁪 【解析】解：由正弦定理及ᦙ，得ᦙ，sin ㈴ ㈴䁪 又 ᦙ ， sin ᦙ， ㈴ 为锐角三角形， cos ᦙ ㈠sin ᦙ， ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴ ㈴䁖 䀀㈴㈠ ㈠ 䀀㈴ cos ᦙᦙᦙ，㈴ ㈴ × 解得 ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ， 䁪 䁪 ᦙ sin ᦙ× × ×ᦙ ㈴㈴ 䁪 故答案为． 三、解答题13.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，㈴ ሺ ㈠ 䀀ᦙ ㈠ ． 䀀求角B的大小； ㈴䀀在锐角三角形 ݏ ݏ ݏ中，角 ݏ， ݏ， ݏ的对边分别为 ݏ， ݏ， ݏ，若 ݏᦙ㈴䁪, ݏᦙ 䁖㈴,∠ ݏᦙ㈴∠ ，求三角形 ݏ， ݏ， ݏ的内角平分线 ݏܥݏ的长．【答案】解： 䀀㈴ ሺ ㈠ 䀀ᦙ ㈠ ， 由正弦定理可得：㈴ ሺ ሺ ㈠ 䀀ᦙ ሺ ㈠ ሺ ， ㈴ ሺ ሺ ㈠㈴ ሺ ᦙ ሺ ㈠ ሺ 䁖 ሺ 䀀， ㈴ ሺ ሺ ᦙ ሺ ， 在锐角 中， ሺ ， ሺ ᦙ，㈴\n ᦙ； ㈴䀀∠ ݏᦙ㈴∠ ᦙ，䁪 ݏ ݏ由正弦定理有：ᦙ， ሺ ݏ ሺ ݏ䁪 ݏ ሺ ݏ 䁖㈴×㈴ ሺ ݏᦙᦙ ݏ㈴䁪 䁖㈴ᦙ， 又三角形 ݏ ݏ ݏ为锐角三角形， ݏᦙ， ㈴ ݏᦙ ㈠ ݏ㈠ ݏᦙ， ∠ ݏܥݏ ݏᦙ ㈠ ݏ㈠ ݏᦙ，㈴ ㈴ ݏܥݏ ݏ由正弦定理有：ᦙ ሺ ݏsin∠ ݏܥݏ ݏ ݏ ሺ ݏ ݏܥݏᦙᦙ㈴㈴．sin∠ ݏܥݏ ݏ14.如图，EFGH是矩形， 的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点 的 的长度满足需求䀀 设∠ ᦙ ，∠ ᦙ ，∠ ᦙ ，且满足 ሺ 䁖 ሺ ᦙ ሺ 䁖 䀀． 䀀求 ； 䁪 ㈴䀀若 ᦙ ， ‴ᦙ䁪，求䁖的最大值． 【答案】解： 䀀设 ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ，由 ሺ 䁖 ሺ ᦙ ሺ 䁖 䀀， ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴ ㈴䁖 ㈴㈠ ㈴根据正弦定理和余弦定理得， 䁖 ᦙ 䁖䀀，㈴ ㈴ 化简整理得， ㈴䁖 ㈴ᦙ ㈴， 由勾股定理可得 ᦙ；㈴ ㈴䀀设∠ ᦙ , ，由 䀀可知，∠ ‴ᦙ ，㈴ 在体 中， ሺ ᦙ ，由 ᦙ ，故ᦙ ሺ ， 䁪在体 ‴中， ᦙ ‴，由 ‴ᦙ䁪，故ᦙ ， \n 䁪 䁖ᦙ ሺ 䁖 ᦙ㈴sin 䁖䀀， 䁪 䁪由 䁖 知，当 䁖ᦙ，即 ᦙ时，䁖取得最大值㈴． ㈴ 15.已知向量 ᦙ ሺ , 䀀， ᦙ 䁪 , 䀀， 䀀ᦙ ． 䀀求 䀀的单调递增区间； ㈴䀀在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且 ᦙ , ሺ ᦙ䁪 ሺ ，若 䀀ᦙ ，求 的周长．【答案】解： 䀀因为 ᦙ ሺ , 䀀， ᦙ 䁪 , 䀀， 䀀ᦙ ᦙ䁪 ሺ 䁖㈴䁪 ，cos ᦙ ሺ㈴ 䁖 ㈴ 䁖ᦙsin ㈴ 䁖䀀䁖㈴㈴㈴ ㈴ 由㈠䁖㈴ ㈴ 䁖 䁖㈴ ， ，可得：㈠䁖 䁖 ， ，㈴ ㈴䁪 可得 䀀的单调递增区间是： ㈠䁖 ,䁖 ， ，䁪 ㈴䀀由题意可得：sin ㈴ 䁖䀀ᦙ， ㈴又 ， 䁪 所以 ㈴ 䁖 ， 所以㈴ 䁖ᦙ，解得 ᦙ， 䁪设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则： ㈴ᦙ ㈴䁖 ㈴㈠㈴ ，所以 ᦙ ᦙ ，又 ሺ ᦙ䁪 ሺ ，可得 ᦙ䁪 ，故 ᦙ ㈴䁖 ㈴㈠䁪 ㈴，解得 ᦙ ，所以 ᦙ䁪，可得 的周长为 䁖 ．16.如图所示，某镇有一块空地 ，其中 ᦙ䁪 ݏ， ᦙ䁪䁪 ݏ，∠ ᦙ 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 䳌 ，其中M，N都在边AB上，且∠䳌 ᦙ䁪 ，挖出的泥士堆放在 䳌地带上形成假山，剩下的 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在 的周围安装防护网．\n䁪 䀀当 䳌ᦙ ݏ时，求防护网的总长度；㈴ ㈴䀀为节省投入资金，人工湖 䳌 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 䳌 的面积最小？最小面积是多少？【答案】解： 䀀 ᦙ䁪 ݏ， ᦙ䁪䁪 ݏ，∠ ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ．㈴㈴㈴㈴ 在 䳌中，由余弦定理得： 䳌ᦙ 䁖 䳌㈠㈴ 䳌 cos ᦙ． 䁪䁪 䳌ᦙ．㈴䁪䁪䁪 䳌 䳌㈴㈴由正弦定理得：ᦙ，即ᦙ，sin∠ 䳌sin sin∠ 䳌䁪㈴． ∠ ᦙ∠ 䳌䁖∠䳌 ᦙ ． 是等边三角形． 的周长 ᦙ䁪 ᦙ ． 防护网的总长度为9km． ㈴䀀设∠ 䳌ᦙ 䀀，则∠ ᦙ 䁖䁪 ，∠ 䳌 ᦙ ㈴ ㈠ ，∠ ᦙ ㈠ ． 䳌 䳌䁪䁪在 䳌中，由正弦定理得ᦙ，即ᦙ ᦙ ．sin sin∠ 䳌 䁪sin ㈴ ㈠ 䀀sin 䁖 䀀㈴䁪䁪 䳌ᦙ，㈴sin 䁖 䀀 在 中，由正弦定理得ᦙ，sin sin∠ 䁪䁪即ᦙ ᦙ，䁪sin ㈠ 䀀cos ㈴䁪䁪 ᦙ，㈴cos ㈴ ㈴ 䳌 ᦙ㈴ 䳌 sin∠䳌 ᦙ cos sin 䁖 䀀ᦙ sin ㈴ 䁖 䀀䁖 䁪． ㈴ 当且仅当㈴ 䁖 ᦙ ，即 ᦙ 时， 䳌 的面积取最小值为ᦙ 䁖 䁪\n ㈠㈴ 䁪㈴ ݏ
