易错点27立体几何中的向量方法一、单选题1.若直线l的方向向量 ሺ െ ͳ ǡ ，平面 的法向量 ሺ െ ͳ ǡ ，则A. 香香 B. C. D.l与 相交但不垂直2.已知空间向量 ሺെ 0， െ ，平面 的一个法向量为 ሺͳ 1，െ ，则直线AB与平面 所成角 为 െ A.B.C.D.ǡ ǡǡ3.在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱 െ െ െ中，若 െ െ，则 െ与 െ 所成角的大小为A.ǡͳ B. C.ǡͳ D. ͳ 4.在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱 െ െ െ中，若 െ െ，则 െ与 െ 所成角的大小为A.ǡͳͳB. ͳC.ǡͳͳD. ͳͳ5.在正方体 ܥ െ െ െܥെ中，E是棱 െ的中点，则对角线 ܥെ与平面BDE所成的角的正弦值为ǡǡെെA.B.C.D.ǡǡǡǡ6.若正三棱柱 െ െ െ的所有棱长都相等，D是 െ െ的中点，则直线AD与平面 െܥ 所成角的正弦值为 െǡ A.B.C.D. 7.已知 ሺെ 0，ͳ ， ሺͳ 1，ͳ ， ሺͳ 0，െ ，则平面ABC的一个单位法向量是A.ሺെ െ െ B.ሺ െ െ െ ǡǡǡǡǡǡC.ሺ D.ሺ ǡǡǡǡǡǡ 8.已知二面角 ，其中平面 的一个法向量 ሺെ ͳ െ ，平面 的一个法向量 ሺͳ െ െ ，则二面角 的大小可能为A.ǡͳ B.െെͳ C.ǡͳ 或െെͳ D.െǡ 二、单空题\nǡെെ9.已知 ∈ ， ∉ ，P A ሺ െ ，平面 的一个法向量 ሺͳ െ ，则直െെെ线PA与平面 所成角的余弦值为_________．10.在平行六面体 ܥ ܥ中， ܥ ܥ ǡͳ ，且所有棱长െെെെെെ均为2，则对角线 െ的长为__________．11.如图，在正方体 ܥ െ െ െܥെ中，M为 െ的中点，则直线MC与平面 ܥെ所成角的正弦值为______．12.已知平行六面体 ܥ െ െ െܥെ中， ， ܥ ǡ， െ ， ܥ ͳ ， െ ܥ െ ǡͳ 则 െ _____________．三、解答题13.如图，在四棱锥 ܥ中， ܥ，底面四边形ABCD为直角梯形， ܥ ， ܥ香香 ， ܥ ͳ ，M为线段PB上一点．െሺെ 若 ，则在线段PB上是否存在点M，使得 晦香香平面 ܥ 若存在，请确定M点ǡ的位置；若不存在，请说明理由；ሺെ 已知 െ， ܥ െ， ܥ െ，且异面直线PA与CD成 ͳ 角，求二面角 ܥ的余弦值．\n14.如图，在四棱锥 ܥ中， ܥ，底面四边形ABCD为直角梯形， ܥ ， ܥ香香 ， ܥ ͳ ，M为线段PB上一点．െሺⅠ 若 ，则在线段PB上是否存在点M，使得 晦香香平面PCD？若存在，请确定Mǡ点的位置；若不存在，请说明理由；ሺⅡ 己知 െ， ܥ െ，若异面直线PA与CD成 ͳ 角，二而角 ܥ的余െͳ弦值为 ，求CD的长．െͳ15.如图，在正四棱锥 ܥ中，二面角 ܥ为ǡͳ ，E为BC的中点．ሺെ 证明： ．ሺെ 已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为ǡͳ ， 求． \nܥ 如图1，在等边 中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足ܥ 香香 ，记 将 ܥ 沿DE翻折到 晦ܥ 的位置并使得平面晦ܥ 平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．ሺെ 当 t香香平面MBD时，求 的值 ሺെ 试探究：二面角 晦ܥ 的大小是否与 的取值有关，如果有，请说明理由 否则请求出二面角 晦ܥ 的正切值一、单选题1.若直线l的方向向量 ሺ െ ͳ ǡ ，平面 的法向量 ሺ െ ͳ ǡ ，则A. 香香 B. C. D.l与 相交但不垂直【答案】C【解析】解： ሺ െ ͳ ǡ ， ሺ െ ͳ ǡ ， െ ， 直线l与平面 的法向量平行， ，故选C．2.已知空间向量 ሺെ 0， െ ，平面 的一个法向量为 ሺͳ 1，െ ，则直线AB与平面 所成角 为 െ A.B.C.D.ǡ ǡǡ【答案】A െെ【解析】解：直线AB与平面 所成的角的正弦值： ′ cos ． െ െെ\n 则直线AB与平面 所成角 为：．ǡ故选：A．3.在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱 െ െ െ中，若 െ െ，则 െ与 െ 所成角的大小为A.ǡͳ B. C.ǡͳ D. ͳ 【答案】D【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，െെെǡ设 െ െ，则 െ， ሺ ͳ ͳ ሺ ͳ ͳ െሺ ͳ െ െሺͳ െ ，െെെെ ሺെ ͳ െ ሺ െǡ ͳ，则 െെ െ ，故 െെെെ故AB െ与 െ所成角为 ͳ ，故选D．4.在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱 െ െ െ中，若 െ െ，则 െ与 െ 所成角的大小为A.ǡͳͳB. ͳC.ǡͳͳD. ͳͳ【答案】D【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，െെെǡ设 െ െ，则 െ， ሺ ͳ ͳ ሺ ͳ ͳ െሺ ͳ െ െሺͳ െ ，െെെെ\n ሺെ ͳ െ ሺ െǡ ͳ，则 െെ െ ，故 െെെെ故AB െ与 െ所成角为直角，故选D．5.在正方体 ܥ െ െ െܥെ中，E是棱 െ的中点，则对角线 ܥെ与平面BDE所成的角的正弦值为ǡǡെെA.B.C.D.ǡǡǡǡ【答案】C【解析】解：如图，以D െ为坐标原点，以D െA െ为x轴，以D െC െ为y轴，D െD为z轴建立空间坐标系，െ设正方体棱长为1，则ܥ െ ሺെ 1，െ ，ܥ ሺെ 1，ͳ ，ܥ ሺͳ 1， ，െ设平面BDE的法向量 ሺ b， ， ͳ则െ，令 െ，则 ሺ െ 1，െ ， ͳെ设对角线BD െ与平面BDE所成的角为 ， െെെ െെ则， ܥെ ，ǡ െെ ǡ ǡǡ故选C．6.若正三棱柱 െ െ െ的所有棱长都相等，D是 െ െ的中点，则直线AD与平面 െܥ 所成角的正弦值为 െǡ A.B.C.D. 【答案】A【解析】解：取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ݔ ．\n设三棱柱的棱长为2，则 ሺͳ െ ͳ ܥሺͳ ͳ െ ሺͳ െ ͳ െሺǡ ͳ െ ， ܥ ሺͳ െ െ ， ܥ ͳ െ െ， െ ǡ െ െ，设 ݔ 为平面 െ ܥ的一个法向量， ܥ ͳ由 െ ͳ ݔെ ͳ ͳ得，故 ǡ ݔͳ െݔ െ 令 െ，得 ͳ െ െ，设直线AD与平面 െܥ 所成角为 ，则 ， 所以直线AD与平面 െܥ 所成角的正弦值为． 故选A．7.已知 ሺെ 0，ͳ ， ሺͳ 1，ͳ ， ሺͳ 0，െ ，则平面ABC的一个单位法向量是A.ሺെ െ െ B.ሺ െ െ െ ǡǡǡǡǡǡC.ሺ D.ሺ ǡǡǡǡǡǡ【答案】D【解析】解： ሺെ 0，ͳ ， ሺͳ 1，ͳ ， ሺͳ 0，െ ， ሺ െ 1，ͳ ， ሺ െ 0，െ ，设平面ABC的一个单位法向量为 ሺ ݔ ， ݔ ͳ则 ͳ， െݔെ െ െ\nǡǡǡǡǡǡ解得 ሺ ，或 ሺ ǡǡǡǡǡǡ故选：D． 8.已知二面角 ，其中平面 的一个法向量 ሺെ ͳ െ ，平面 的一个法向量 ሺͳ െ െ ，则二面角 的大小可能为A.ǡͳ B.െെͳ C.ǡͳ 或െെͳ D.െǡ 【答案】C െെ【解析】解：cos ， െ െെ െെͳ ， 二面角 的大小为ǡͳ 或െെͳ ．故选C．二、单空题ǡെെ9.已知 ∈ ， ∉ ，P A ሺ െ ，平面 的一个法向量 ሺͳ െ ，则直െെെ线PA与平面 所成角的余弦值为_________．െ【答案】െǡെെ【解析】解：由题意， ሺ െ 与法向量 ሺͳ െ 夹角余弦值的绝对值，െെെ即为直线PA与平面 所成角的正弦值，设直线PA与平面 所成角为 ，，则െ െ ǡെെሺ െሺ െെ ሺ െെെെെǡ ，െ．െ故答案为．െ10.在平行六面体 ܥ ܥ中， ܥ ܥ ǡͳ ，且所有棱长െെെെെെ均为2，则对角线 െ的长为__________．\n【答案】െǡ【解析】解：因为解：因为 ܥ ，െെെെെെ所以 െ ܥ െ െ ܥ െ െ ܥ െെ cosǡͳ cosǡͳ cosǡͳ െ ，所以 െ െ െǡ．故答案为െǡ．11.如图，在正方体 ܥ െ െ െܥെ中，M为 െ的中点，则直线MC与平面 ܥെ所成角的正弦值为______．െ 【答案】 【解析】解：以D为原点，以DA，DC，ܥܥെ为坐标轴建立空间直角坐标系ܥ ݔ ，如图所示：െ设正方体棱长为1，则 ሺെ 0，ͳ ， ሺͳ 1，ͳ ，ܥെͳ ͳ െ，晦െ െ ，െ െ ͳ െ 晦 െ ͳ െ所以 െ െ ͳ， ܥെെ设平面 ܥെ的法向量为 ݔ ， ͳ则 ܥ െ ͳ ݔ ͳ所以 ͳ令 െ，得 െ െ െ．ǡ 晦 െെ 所以cos 晦 ． 晦 ǡ െെ 所以直线MC与平面 ܥെ所成角的正弦值为：cos 晦 ． െ 故答案为． 12.已知平行六面体 ܥ െ െ െܥെ中， ， ܥ ǡ， െ ， ܥ ͳ ，\n െ ܥ െ ǡͳ 则 െ _____________．【答案】 െെ【解析】解： െ ܥ െ െെെ ܥ െ െ ܥ െ െ െ ܥ െ െǡ െ െ ǡ ͳ െ ǡͳ െ ǡ ǡͳ ͳെͳെ ，因此 െ ．故答案为 ．三、解答题13.如图，在四棱锥 ܥ中， ܥ，底面四边形ABCD为直角梯形， ܥ ， ܥ香香 ， ܥ ͳ ，M为线段PB上一点．െሺെ 若 ，则在线段PB上是否存在点M，使得 晦香香平面 ܥ 若存在，请确定M点ǡ的位置；若不存在，请说明理由；ሺെ 已知 െ， ܥ െ， ܥ െ，且异面直线PA与CD成 ͳ 角，求二面角 ܥ的余弦值．【答案】解：ሺെ 存在，点M是线段PB上靠近点P的一个三等分点．证明如下：在PC上取靠近点P的三等分点N，连接MN，DN，െ则晦t香香 且晦t ，ǡ\nെ由已知， ܥ香香 且 ܥ ，ǡ所以晦t香香 ܥ，晦t ܥ，所以，四边形MNDA是平行四边形，，所以 晦香香tܥ，又tܥ 平面PCD，，所以 晦香香平面PCD；ሺെ ܥ， ܥ， ܥ ܥ ܥ，AD、 ܥ 平面ABCD，则 平面ABCD，以A为坐标原点，以AD，AP所在直线为y轴，z轴，过点A与平面PAD垂直的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则 ሺͳ 0，െ ，ܥሺͳ 1，ͳ ，െ ሺെ 1，ͳ ， ሺെ െ ͳ ， െ则 ሺെ െ െ ሺͳ ͳ ܥ ሺ െ ͳ ͳ ， 设平面PBC和平面PCD的法向量分别为 െ ሺ െ ݔ െ ሺ െ െ െݔെ െ ， െ ͳ െ െ ，得 െ ͳെݔെ ͳ即 െ െݔെ െ െ ͳ令 െ െ，则 െ െ，故 െ ሺെ ͳ െ ，同理可求得 െ ሺͳ െ െ 设 是二面角 ܥ的平面角，则，\nെͳ由图易得其为钝二面角，所以 ．െͳ14.如图，在四棱锥 ܥ中， ܥ，底面四边形ABCD为直角梯形， ܥ ， ܥ香香 ， ܥ ͳ ，M为线段PB上一点．െሺⅠ 若 ，则在线段PB上是否存在点M，使得 晦香香平面ǡPCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；ሺⅡ 己知 െ， ܥ െ，若异面直线PA与CD成 ͳ 角，二而角 ܥ的余െͳ弦值为 ，求CD的长．െͳെെ【答案】解：ሺⅠ 时，则在线段PB上是存在点M，且 晦 ，使得 晦香香平面PCD．ǡǡെ理由如下：如图取 t ，连接AN，MN．ǡ可得 ܥ香香 t， ܥ t， 四边形ADCN为平行四边形， t香香 ܥ， 晦，N分别为PB，CN的三等分点， 晦t香香 ． 面 晦t香香面PCD， 晦香香平面PCD．ሺⅡ 如图，过A作 t香香ܥ 交BC与N，设 ܥ ．\n则 ሺͳ 0，ͳ ，tሺ 0，ͳ ， ሺͳ 0，െ ，ܥሺͳ 1，ͳ ሺ ，1，ͳ ܥ ሺͳ െ െ ，ܥ ሺ ͳ ͳ ，设面PDC的法向量为 ሺ ݔ ． ܥ ݔെ ͳ ሺͳ െ െ ． ܥ ͳ ሺ െ െ ， t ሺͳ െ ͳ ．设面PNC的法向量为 ሺ െ ݔെ െ ． െ ݔെെ െ ͳ ሺെ ͳ ． t ݔെ ͳ െ cos െ． െെͳ ܥ的长为2．15.如图，在正四棱锥 ܥ中，二面角 ܥ为ǡͳ ，E为BC的中点．ሺെ 证明： ．ሺെ 已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为ǡͳ ， 求． 【答案】ሺെ 证明：设V在底面的射影为O，则O为正方形ABCD的中心．如图，连接OE，因为E为BC的中点，所以 ．\n在正四棱锥 ܥ中， ，则 ，所以 为二面角 ܥ的平面角，则 ǡͳ 在 中， െ ，又 െ ，所以 ．ሺെ 解：取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以 为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 ݔ ，设 െ，则 ሺͳ ͳ ǡ ሺͳ െ ͳ ሺെ െ ͳ ሺെ െ ͳ ， ሺെ െ ǡ ሺെ െ ǡ ሺͳ െ ǡ ，设 ሺ െ ，则 ሺ െ െ ǡ ǡ ，从而，整理得 െെͳ െെ ͳ，解得 െെሺ െ舍去 ， 故 െെ． ܥ 16.如图1，在等边 中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足ܥ 香香 ，记 将 ܥ 沿DE翻折到 晦ܥ 的位置并使得平面晦ܥ 平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．ሺെ 当 t香香平面MBD时，求 的值 \nሺെ 试探究：二面角 晦ܥ 的大小是否与 的取值有关，如果有，请说明理由 否则请求出二面角 晦ܥ 的正切值．【答案】ሺെ 证明：如图所示，取MB的中点P，连接DP，PN t为MC的中点，P为MB的中点， t 香香 ，又 ܥ 香香 ， t 香香ܥ ，即点N、E、D、P四点共面，又 t香香平面MBD， t 平面NEPD，平面t ܥ 平面晦 ܥ ܥ ， t香香ܥ ，即四边形NEDP为平行四边形， 香香െെ t ܥ ，即ܥ െ ，所以 െ．ሺെ 解法一：取DE中点O，因为平面晦ܥ 平面DECB且晦 ܥ ，所以晦 平面DECB，如图所示，建立空间直角坐标系 ݔ ，不妨设 െ，则晦ሺͳ 0，ǡ ，ܥሺ 0，ͳ ， ሺെ ǡሺെ ͳ 晦 ܥ ሺ 0， ǡ ，ܥ ሺെ ǡሺെ ͳ 设平面BMD的法向量 ሺ y， ，则晦 ܥ ǡ ͳ，ܥ ሺെ ǡሺെ ݔ ͳ ǡ 即， ǡݔ不妨令 ǡ，即 ሺǡ െ െ 又 平面EMD的法向量 ሺͳ 1，ͳ \n െ cos ， 即二面角 晦ܥ 的大小与 值无关．又因为二面角 晦ܥ 为钝二面角，所以二面角 晦ܥ 的正切值为 െ．解法二：过点B作 ܥ ，交ED延长线于点R，过点R作 晦ܥ，交MD延长线于点T，连接RT， 平面晦ܥ 平面DECB， 平面MDE， 晦ܥ又 晦ܥ， 晦ܥ 平面BRT， 晦ܥ 为二面角 晦ܥ 的补角，不妨设 െ，则ܥ െ ， ǡሺെ ǡ又 ܥ sin ሺെ ǡെ tan െ 所以二面角 晦ܥ 的正切值为 െ，它与 值无关．
