考点十五：基本不等式15.1基本不等式及其应用1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．高考真题示例1、(2022·福建)下列不等式一定成立的是( )A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)答案 C解析 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lgx(x>0)，故选项A不正确；而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．2．下列函数中，最小值是4的函数是( )A．y＝x＋B．y＝sinx＋(0<x<π)c．y＝ex＋4e－xd．y＝log3x＋logx81[答案] c="">1)的最小值是________．5解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.4．（2022•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ） A．B．4C．D．5 5．（2022•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（ ） A．1+B．1+C．3D．4 6．（2022•山东）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A．B．C．D．4 7．（2022•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ） A．8B．4C．1D． 8．（2022•福建）下列结论正确的是（ ） A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2 C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值 59．（2022•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ） A．2B．3C．4D．5 10．（2022•江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ） A．B．8C．9D．12 11．（2022•红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（ ） A．6B．8C．10D．12 12．（2022春•巫山县校级期末）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（ ） A．B．8C．D． 13．（2022春•遵义校级期末）下列各函数中，最小值为2的是（ ） A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，2π） C．y=D．y=+﹣2 14．（2022•烟台二模）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（ ） A．2B．C．6D．9 15．（2022•吉州区校级模拟）设a，b∈R，则“a＞0，b＞0”是“”的（ ） A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件D．既不充分条件也不必要条件 16．（2022•济宁一模）已知向量=（m，1﹣n），=（1，2），其中m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值是（ ） A．2B．3+2C．4D．3+5 17．（2022春•毕节地区校级期末）已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（ ） A．4B．12C．16D．18 18．（2022秋•高台县校级期末）下列函数中，最小值为4的是（ ） A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π） C．y=ex+4e﹣xD．y=+ 19．（2022•长春一模）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2） 20．（2022•阜新县校级二模）若直线2ax﹣by+2=0．（a＞0，b＞0）被圆（x+1）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为4，则的最小值为（ ） A．1B．2C．3D．4 21．（2022•泰安一模）已知函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ） A．3B．C．4D．8 二．填空题（共5小题）22．（2022•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 （m）． 523．（2022•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为 ． 24．（2022•山东）已知函数y=loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为 ． 25．（2022•山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是 ． 26．（2022•重庆）已知t＞0，则函数的最小值为 ．参考答案1．C2．C3．2＋24．C5．C6．A7．B8．B9．C10．C11．A12．D13．D14．C15．D16．B17．C18．C19．D20．D21．D22．2023．324．825．a≥26．-25</x<π)c．y＝ex＋4e－xd．y＝log3x＋logx81[答案]>
