考点六：不等式、线性规划6.1 不等关系与不等式1．通过具体情境，了解在现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的背景．2．掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大小．6.2 一元二次不等式及其解法1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．高考真题示例1．（2022•重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ） A．﹣3B．1C．D．3 答案：B2．（2022•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（ ） A．7B．8C．9D．14 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．143．（2022•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ） A．4B．C．6D． 解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．144．（2022•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ） A．3B．2C．﹣2D．﹣3 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件，故a=2，故选：B 5．（2022•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ） A．＞B．＜C．＞D．＜答案：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：B．146．（2022•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ） A．或﹣1B．2或C．2或1D．2或﹣1解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D7．（2022•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（ ） A．5B．4C．D．2 解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．14由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．8．（2022•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ） A．2B．﹣2C．D．﹣ 解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．149．（2022•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（ ） A．5B．29C．37D．49解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C10．（2022•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ） A．2B．1C．D． 解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．11．（2022•四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克14．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元 解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=280012．（2022•重庆）不等式≤0的解集为 解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为13．（2022•重庆）设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（ ） A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）解：因为集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2﹣4g（x）+3＞0，解得g（x）＞3，或g（x）＜1．因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．即3x﹣2＜1，解得x＜1．所以M∩N={x|x＜1}．故选：D．14．（2022•广东）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（ ） A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） 解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D1415．（2022•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（ ） A．4B．3C．4D．3 答案：C16．（2022•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（ ） A．3B．4C．3D．4 解析：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B17．（2022•北京）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（ ） A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞] 解：作出区域D的图象，联系指数函数y=ax的图象，14由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．18．（2022•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（ ） A．3，﹣11B．﹣3，﹣11C．11，﹣3D．11，3 解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故选A．19．（2022•建德市校级模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（ ）14 A．B．C．D．解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A20．（2022•福建）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（ ） A．﹣5B．1C．2D．3 解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．21．（2022•陕西）若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0]D．（﹣2，4）14 解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．22．（2022•安徽）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（ ） A．B．C．D． 解：可行域为△ABC，如图，当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞kAC=﹣1，a＜2．当a＜0时，k=﹣＜kAB=2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，14故选B．23．（2022•安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（ ） A．B．C．D． 答案：A24．（2022•山东）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A．B．C．D．4 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．25．（2022•广东）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ） A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞014 解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．26．（2022•山东）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（ ） A．[1，3]B．[2，]C．[2，9]D．[，9] 解析：平面区域M如如图所示．求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）．由图可知，欲满足条件必有a＞1且图象在过B、C两点的图象之间．当图象过B点时，a1=9，∴a=9．当图象过C点时，a3=8，∴a=2．故a的取值范围为[2，9]故选C．27．（2022•福建）若实数x、y满足则的取值范围是（ ） A．（0，2）B．（0，2）C．（2，+∞）D．[，+∞） 解：不等式组，当取得点（2，3）时，取得最小值为，所以答案为[，+∞），故选D．1414
