课时训练(十四) 二次函数的图象及其性质(二)(限时:40分钟)|夯实基础|1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是( )A.3B.2C.1D.02.[2022·宿迁]将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是( )A.y=(x+2)2+1B.y=(x+2)2-1C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K14-1所示,则下列结论中正确的是( )9\n图K14-1A.a>0B.当-1<x<3时,y>0C.c<0D.当x≥1时,y随x的增大而增大4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是( )A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<25.[2022·襄阳]已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是( )A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>26.[2022·苏州]若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为( )A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=32,x2=52D.x1=-4,x2=07.[2022·烟台]如图K14-2,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).下列结论:①2a-b=0;②(a+c)2<b2;③当-1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x-2)2-2.其中正确的是( )9\n图K14-2A.①③B.②③C.②④D.③④8.[2022·黄冈]当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( )A.-1B.2C.0或2D.-1或29.[2022·淮安]将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是 . 10.[2022·孝感]如图K14-3,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 . 图K14-311.[2022·镇江]已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是 . 12.[2022·广安]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K14-4所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有 (填序号). ①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④当x>0时,y随x的增大而减小.9\n图K14-413.[2022·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.|拓展提升|14.[2022·乐山]已知关于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0).(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;(2)若抛物线y=mx2+(1-5m)x-5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求m的值;(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2-n2+8n的值.9\n9\n参考答案1.A [解析]抛物线的解析式为y=-3x2-x+4,令x=0,解得y=4,∴抛物线与y轴的交点为(0,4).令y=0,得-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,解得x1=-43,x2=1.∴抛物线与x轴的交点分别为-43,0,(1,0).综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3,故选A.2.C [解析]根据函数图象平移的规律“左加右减,上加下减”得y=(x-2)2+1,故选C.3.B4.D [解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4,0),∵a<0,∴抛物线开口向下,则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.5.A [解析]∵二次函数的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×14m-1≥0,解得m≤5.故选A.6.A [解析]根据题意可得4a+1=0,a=-14,则-14(x-2)2+1=0,解一元二次方程得x1=0,x2=4.7.D [解析]①∵A(-1,0),B(3,0),∴对称轴是直线x=-b2a=-1+32=1,∴2a+b=0,又∵a≠0,b≠0,∴①错误,可以排除A选项;②∵x=-1时,y=a-b+c=0,∴a+c=b,∴(a+c)2=b2,∴②错误,可以排除B,C选项;③当-1<x<3时,抛物线在x轴下方,y<0,∴③正确;④当a=1时,抛物线y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-9\n4,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得抛物线y=(x-1-1)2-4+2=(x-2)2-2,∴④正确;故选D.8.D [解析]y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内的最小值为0,但题中说当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,因此,当x=a或x=a+1时,函数值为1,令y=1,可得x1=0,x2=2,∴a+1=0或a=2,即a=-1或2,故选D.9.y=x2+210.x1=-2,x2=1 [解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴y=ax2,y=bx+c的解为x1=-2,y1=4,x2=1,y2=1.即方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.11.k<4 [解析]∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.12.②③ [解析]∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口下,∴a<0.∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴,∴c>0.∵对称轴x=-b2a>0,∴b>0,∴abc<0.∴①错误.由二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标为3,对称轴为直线x=1,则另一个交点的横坐标为2×1-3=-1,∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.∴②正确.∵对称轴为直线x=-b2a=1,∴2a+b=0.∴③正确.9\n∵二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,∴当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.∴④错误.故正确的有②③.13.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-2,x2=1+2.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=12·OC·|xA|+12·OC·|xB|=12·OC·|xA-xB|=12×1×22=2.14.解:(1)证明:由题意得:Δ=(1-5m)2-4m×(-5)=(5m+1)2≥0,∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.(2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,得x1=-1m,x2=5.由|x1-x2|=6,得-1m-5=6.解得m=1或m=-111.9\n(3)由(2)得,当m>0时,m=1.此时抛物线解析式为y=x2-4x-5,其对称轴为直线x=2.由题意知,P,Q关于直线x=2对称.∴a+a+n2=2,∴2a=4-n.∴4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.9
