图形的操作与变换类型之一 折叠与翻折问题 (2022·铜仁)如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为( )A.3 B.C．5D.【思路点拨】 求DE的长可以转换为求BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理可以求得．【解答】 ∵∠CBD＝∠DBE，∠CBD＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB.∴DE＝BE.由矩形的性质得AB＝CD＝3，AD＝BC＝6.设DE的长为x，则AE＝6－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即32＋(6－x)2＝x2.解得x＝，故选择B.图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件．另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质．1．(2022·安顺)如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为( )A．2 B. C. D．62．(2022·黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( )A．6B．12C．2D．43．(2022·无锡)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为( )A.B.C.D. 7\n4．(2022·泸州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为( )A．13B.C.D．125．(2022·黔西南)在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为(0，2)，PM的延长线与x轴交于点N(n，0)，如图3，当m＝时，n的值为( )A．4－2B．2－4C．－D.6．(2022·黔东南模拟)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．类型之二 图形旋转问题 (2022·黔南)两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上(如图1)，CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD(如图2)；(2)当α＝45°时(如图3)，求证：四边形MHND为正方形．【思路点拨】 (1)由全等三角形的判定定理SAS证得：△AED≌△GCD(如图2)；(2)通过判定四边形MHND四个角是90°，且邻边DN＝NH来判定四边形MHND是正方形．【解答】 (1)如图2，∵由题意知，AD＝GD，ED＝CD，∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠ADC＋∠CDE＝∠GDE＋∠CDE，即∠ADE＝∠GDC.在△AED与△GCD中，7\n∴△AED≌△GCD(SAS)．(2)如图3，∵α＝45°，∠NCE＝∠NEC＝45°.∴CN＝NE，∠CNE＝90°.∴∠DNH＝90°.∵∠D＝∠H＝90°，∴四边形MHND是矩形．∵CN＝NE，∴DN＝NH.∴矩形MHND是正方形．图形的旋转是全等变换，它只改变图形的位置而不改变图形的大小，它为三角形的全等或相似提供大量的边相等或角相等的条件．1．(2022·黔东南)如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1.将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为( )A．(－1，)B．(－1，)或(1，－)C．(－1，－)D．(－1，－)或(－，－1) 2．(2022·遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为( )A.B.C.D.3．(2022·济宁)将一副三角尺(在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为( )A.B.C.D.4．(2022·青岛)如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为(1，1)、(－1，1)，把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分形成的正八边形的边长为________．7\n5．(2022·六盘水)把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处(即点B处)，点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为________，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为________．6．(2022·汕尾)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于________；(直接填写结果)(2)如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值．(直接写出结果)(3)1＋(四边形AD1PE1为正方形时，距离最大，此时PD1＝2，PB＝2＋2)．类型之三 利用轴对称求最短距离 (2022·六盘水)(1)观察发现如图1，若点A、B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，作法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小，作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连线CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为________．(2)实践运用如图3，已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，则BP＋AP的最小值为________．7\n(3)拓展延伸如图4，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M、点N，使PM＋PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．【思路点拨】 (1)利用作法得到CE的长为BP＋PE的最小值；由AB＝2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30°，BE＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得CE的长度．(2)过B点作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP＋AP的最小值．(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于M、交BC于N.【解答】 (1)CE的长为BP＋PE的最小值．∵在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，∴CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30°，BE＝1，∴CE＝BE＝.(2)如图5，过B作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD.∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称．∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝60°.∴∠EOC＝30°.∴∠AOE＝60°＋30°＝90°.∵OA＝OE＝1，∴AE＝OA＝.∴AE的长度就是BP＋AP的最小值．(3)如图6.求两条线段之和的最小值，常常想到利用轴对称将两条线段的和转化为求两点之间的距离．1．(2022·安顺)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )A.B．1C．2D．22．(2022·黔东南)在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A(1，0)，B(2，0)是x轴上的两点，则PA＋PB的最小值为________．3．(2022·黔南)如图所示，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE7\n，P为对角线AC上的一点，则PD＋PE的最小值为________．4．(2022·贵阳)如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝6cm.(1)AE的长为________cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；求点D′到BC的距离．参考答案类型之一 折叠与翻折问题1．A 2.D 3.B 4.A 5.A 6.95° 7.类型之二 图形旋转问题1．B 2.B 3.C 4.2－2 5.π π 6.(1)2(2)证明：当α＝135°时，由旋转可知∠D1AB＝∠E1AC＝135°.又∵AB＝AC，AD1＝AE1，∴△D1AB≌△E1AC.∴BD1＝CE1且∠D1BA＝∠E1CA.设直线BD1与AC交于点F，有∠BFA＝∠CFP，∴∠CPF＝∠FAB＝90°.∴BD1⊥CE1.(3)1＋(四边形AD1PE1为正方形时，距离最大，此时PD1＝2，PB＝2＋2)．类型之三 利用轴对称求最短距离1．A 2. 3.24．(1)4 (2)∵在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝60°.∵E为CD边上的中点，∴DE＝AE.∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，△AD′E为等边三角形，∠AED′＝60°.∵∠EAC＝∠DAC－∠EAD＝30°，7\n∴∠EFA＝90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′.∴点E，D′关于直线AC对称．连接DD′交AC于点P，∴此时DP＋EP值为最小，且DP＋EP＝DD′.∵△ADE是等边三角形，AD＝AE＝4，∴DD′＝2×AD×＝2×6＝12，即DP＋EP最小值为12cm.(3)连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G.∵AC垂直平分线段ED′，∴AE＝AD′，CE＝CD′.∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝4.在△ABD′和△CBD′中，∴△ABD′≌△CBD′(SSS)．∴∠D′BG＝45°，∴D′G＝GB.设D′G长为xcm，则CG长为(6－x)cm，在Rt△GD′C中，x2＋(6－x)2＝(4)2，解得x1＝3－，x2＝3＋(不合题意，舍去)．∴点D′到BC边的距离为(3－)cm.7
