第6讲一元二次方程 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①________个未知数，且未知数的最高次数是②________的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③________，主要方法有：直接开平方法、④________法、公式法、⑤________法等. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑥________.判别式与根的关系(1)b2－4ac＞0一元二次方程⑦__________的实数根；(2)b2－4ac＝0一元二次方程⑧__________的实数根；(3)b2－4ac＜0一元二次方程⑨________实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1、x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝. 【易错提示】 (1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件．(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2－4ac≥0. 一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．1．已知方程一根求另一根和参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解．2．解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．命题点1 一元二次方程的解法 (2022·自贡)解方程：3x(x－2)＝2(2－x)．【思路点拨】 可以运用因式分解法比较简捷．【解答】 9\n一元二次方程的解法有四种：因式分解法、开平方法，配方法与公式法．若方程的右边为0，且左边能分解因式，则宜选用因式分解法；若方程形如x2＝c、(ax＋b)2＝c(c≥0)或可化为这种形式的一类方程，则宜选用开平方法；若方程二次项系数为1，一次项的系数为偶数时，则宜选用配方法；若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便时，则用公式法．1．(2022·重庆A卷)一元二次方程x2－2x＝0的根是()A．x1＝0，x2＝－2B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝0，x2＝22．(2022·滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为()A．(x＋3)2＝1B．(x－3)2＝1C．(x＋3)2＝19D．(x－3)2＝193．解方程：4x2－12x＋5＝0.4．(2022·自贡)用配方法解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数 (2022·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2(p为实数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)【思路点拨】 (1)首先将方程化为一般式，然后计算根的判别式为正，从而结论得以证明；(2)可以利用一元二次方程的根与系数的关系讨论得出p的值．【解答】 利用一元二次方程的根与系数的关系求字母系数的值的前提条件是方程必有两个实数根，也就是Δ≥0.9\n1．(2022·眉山)下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是()A．(x－1)2＝0B．x2＋2x－19＝0C．x2＋4＝0D．x2＋x＋1＝02．(2022·成都)关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是()A．k>－1B．k≥－1C．k≠0D．k>－1且k≠03．(2022·内江)已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是________．4．(2022·南充)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0，有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x＋x－x1x2的值．命题点3 一元二次方程的应用 (2022·巴中)如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【思路点拨】 设小路的宽xm，将四块种植地平移为一个矩形，矩形的长为(40－x)m，宽为(32－x)m，根据矩形的面积公式可建立一元二次方程，解之可得答案．【解答】 列方程解应用题的关键是找到相等关系．而在找相等关系时，有时可借助图表，在求出方程的解后，要检验它是否符合实际意义．对于商品销售问题，相等关系是：总利润＝每件利润×销售数量．1．(2022·巴中)某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A．560(1＋x)2＝315B．560(1－x)2＝315C．560(1－2x)2＝315D．560(1－x2)＝3152．(2022·达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为________________．3．(2022·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？9\n4．(2022·广元)李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．1．(2022·云南)一元二次方程x2－x－2＝0的解是()A．x1＝1，x2＝2B．x1＝1，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝－2D．x1＝－1，x2＝22．(2022·随州)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是()A．(x－6)2＝－4＋36B．(x－6)2＝4＋36C．(x－3)2＝－4＋9D．(x－3)2＝4＋93．(2022·德州)若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数解，则a的取值范围是()A．a<1B．a≤4C．a≤1D．a≥14．(2022·达州)方程(m－2)x2－x＋＝0有两个实数根，则m的取值范围为()A．m>B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠25．(2022·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是()A．12B．9C．13D．12或96．(2022·衡阳)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为()A．－2B．2C．4D．－39\n7．(2022·佛山)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是()A．7mB．8mC．9mD．10m8．(2022·丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________________．9．(2022·北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．10．(2022·甘孜)若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为________．11．(2022·呼和浩特)若实数a、b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________．12．(2022·宜宾)关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是________．13．(2022·广东)解方程：x2－3x＋2＝0.14．(2022·泰州)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．15．(2022·鄂州)关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值．9\n16．(2022·东营)2022年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2022年的均价为每平方米5265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)17．(2022·攀枝花)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是()A．m＞ B．m＞且m≠2C．－＜m＜2D.＜m＜218．(2022·株洲)有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，其中a＋c＝0，以下列四个结论中，错误的是()A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝119．(2022·绵阳)关于m的一元二次方程nm2－n2m－2＝0的一个根为2，则n2＋n－2＝________．20．(2022·凉山)已知实数m、n满足3m2＋6m－5＝0，3n2＋6n－5＝0，则＋＝________．9\n参考答案考点解读考点1 ①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解考点2 ⑥b2－4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有各个击破例1 原方程可以化为3x(x－2)＋2(x－2)＝0.左边分解因式，得(x－2)(3x＋2)＝0.∴x－2＝0或3x＋2＝0.因此，原方程的解为x1＝2，x2＝－.题组训练 1.D 2.D 3.x1＝，x2＝. 4.∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，∴a≠0.∴由原方程，得x2＋x＝－.等式的两边都加上()2，得x2＋x＋()2＝－＋()2，配方，得(x＋)2＝－，开方，得x＋＝±，解得x1＝，x2＝.例2 (1)化简方程，得x2－5x＋(4－p2)＝0，Δ＝(－5)2－4(4－p2)＝9＋4p2.∵p为实数，∴9＋4p2>0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)当p为0、2、－2时，方程有整数解．题组训练 1.B 2.D 3.2 4.(1)∵一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝8－4m＞0，解得m＜2，故整数m的最大整数值为1.(2)∵m＝1，∴此一元二次方程为x2－2x＋1＝0.∴x1＋x2＝2，x1x2＝1，∴x＋x－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝8－3＝5.例3 设小路的宽为xm，依题意，有(40－x)(32－x)＝1140.整理，得x2－72x＋140＝0.解得x1＝2，x2＝70(不合题意，舍去)．答：小路的宽为2m.题组训练 1.B 2.(40－x)(20＋2x)＝1200 3.设降价x元，则售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意得(60－x－40)(300＋20x)＝6080，解得x1＝1，x2＝4.又∵要让顾客得实惠，故取x＝4，即定价为56元．答：应将销售单价定位56元． 4.(1)设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为(40－x)cm，9\n由题意，得()2＋()2＝58，解得x1＝12，x2＝28.当x＝12时，较长的为40－12＝28(cm)，当x＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)．答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段．(2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为(40－m)cm，由题意，得()2＋()2＝48，变形为m2－40m＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数根，即李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.整合集训基础过关1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.x＋3＝0(或x－1＝0)9．1 1 10.5 11.1或－ 12.m> 13.∵a＝1，b＝－3，c＝2，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1.∴x＝＝.∴x1＝1，x2＝2. 14.(1)因为Δ＝(2m)2－4(m2－1)＝4>0，所以，原方程有两个不相等的实数根．(2)将x＝3代入原方程，得32＋6m＋m2－1＝0，即m2＋6m＋8＝0，解得m＝－2或m＝－4. 15.(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，即k＞.(2)∵k＞，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.又∵x1·x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.∵|x1|＋|x2|＝x1·x2，∴2k＋1＝k2＋1.∴k1＝0，k2＝2.又∵k＞，∴k＝2. 16.(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得6500(1－x)2＝5265，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每年下调的百分率为10%.(2)若下调的百分率相同，2022年的房价为5265×(1－10%)＝4738.5(元/m2)．则100平方米的住房的总房款为：100×4738.5＝473850(元)＝47.385(万元)．∵20＋30＞47.385，9\n∴张强的愿望可以实现．能力提升17．D 18.D 19.26 20.－9
