第6讲一次方程(组) 一元一次方程及解法等式的性质性质1：等式两边加(或减)同一个数或同一个①____，所得结果仍是等式；性质2：等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是②____.方程的概念含有未知数的③____叫做方程.方程的解使方程左右两边的值④____的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的概念只含有⑤____个未知数，且未知数的最高次数是⑥____的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：去分母、去⑦____、移项、合并⑧______、系数化为1. 二元一次方程组及解法二元一次方程的概念含有⑨____个未知数，并且未知项的次数是⑩____的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程组的概念一般地，含有⑪____的未知数的⑫____个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的⑬______，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解法解二元一次方程组的方法步骤：二元一次方程组⑭________方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有⑮____消元法和⑯____消元法两种. 一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系.2.设设未知数(可设直接或⑰____未知数).列方程(组)解应用题的一般步骤3.列根据题意寻找⑱________列方程(组).4.解解方程(组).5.答检验所求的未知数的值是否符合题意，写出答案.11\n1．解二元一次方程组时，若方程组其中一个方程中的未知数系数为1或－1，则直接采用代入消元法求解；若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解．2．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)画线段图或列表格；(4)运用数学公式．命题点1 一次方程(组)的解法 (2022·淮安)解方程组：【解答】 在对二元一次方程组进行消元时，要根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法：①方程中有一个未知数的系数为1或－1时，一般采用代入消元法；②当两个方程中的某个未知数的系数相同或互为相反数，或者存在倍数关系时，一般采用加减消元法． 1．(2022·无锡)方程2x－1＝3x＋2的解为( )A．x＝1B．x＝－1C．x＝3D．x＝－32．(2022·娄底)已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为________．3．解方程：－＝－1.3.4．(2022·无锡)解方程组：命题点2 一次方程(组)的应用 (2022·聊城)某服装店用6000元购进A、B两种新式服装，按标价出售后可获毛利润3800元(毛利润＝售价－进价)，这两种服装的进价、标价如下表所示： 类型价格)A型B型11\n进价(元/件)60100标价(元/件)100160 (1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？【思路点拨】 (1)题中有两个等量关系式：①购进A种新式服装和B种新式服装共用去6000元；②按标价出售A种新式服装和B种新式服装后共可获毛利润3800元．依据这两个等量关系直接设未知数构建方程组求解即可；(2)根据第(1)题计算出购进A型服装、B型服装的数量，再按“A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售”进行计算即可．【解答】 用方程(组)解决问题的关键是审清题意，找出题目的相等关系，一些相等关系可以设元转换未知量，另一些相等关系可以列方程用，但一般情况是一个相等关系只用一次．1．(2022·杭州)某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地，则可列方程( )A．54－x＝20%×108B．54－x＝20%×(108＋x)C．54＋x＝20%×162D．108－x＝20%×(54＋x)2．(2022·枣庄)某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为( )A．240元B．250元C．280元D．300元3．(2022·长沙)长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获得利润500元，其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为( )A．562.5元B．875元C．550元D．750元4．(2022·福州)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？11\n1．(2022·杨浦区二模)下列关于x的方程一定是一元一次方程的是( )A.－x＝1B．(a2＋1)x＝bC．ax＝bD.＝32．(2022·咸宁)方程2x－1＝3的解是( )A．－1B．－2C．1D．23．(2022·广州)已知a，b满足方程组则a＋b的值为( )A．－4B．4C．－2D．24．(2022·河北)利用消元法解方程组下列做法正确的是( )A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×25．(2022·孝感)已知是二元一次方程组的解，则m－n的值是( )A．1B．2C．3D．46．(2022·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为( )A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝877．(2022·绵阳)朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？( )A．4个B．5个C．10个D．12个8．(2022·重庆A卷)方程组的解是________．9．(2022·安顺)如果4xa＋2b－5－2y3a－b－3＝8是二元一次方程，那么a－b＝________.10．请写出一个二元一次方程组________________________使它的解是11．(2022·北京)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊各值金y两，可列方程组为____________．12．(2022·甘孜)设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算＝ad－bc.则满足等式＝1的x的值为________．11\n13．(2022·广州)解方程：5x＝3(x－4)．14．(2022·滨州)解方程：2－＝.15．(2022·重庆B卷)解二元一次方程组：16．(2022·威海)解方程组：17．(2022·日照)已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求m的值．18．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作3天，余下的由乙单独完成．问开始到完工共用了多少天时间？19．(2022·岳阳)某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？11\n20．(2022·泰州)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况．了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？21．(2022·连云港)小林在某商店买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如下表：购买商品A的数量(个)购买商品B的数量(个)购买总费用(元)第一次购买651140第二次购买371110第三次购买981062(1)小林按打折扣价购买商品A、B是第________次购买；(2)求A、B的标价；(3)若A、B的折扣相同，问商店是打几折出售的？22．(2022·凉山)根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高________cm，放入一个大球水面升高________cm；(2)如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？11\n23．(2022·嘉兴)某镇水库的可用水量为12000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．(1)问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？(2)政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？24．(2022·黄石)四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好(即不多不少)能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有( )A．4种B．11种C．6种D．9种25．(2022·日照)如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：(1)该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？11\n为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80(说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量；②水费＝自来水费＋污水处理费)已知小王家2022年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．(1)求a、b的值；(2)随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2%，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？考点解读①整式 ②等式 ③等式 ④相等 ⑤一 ⑥1 ⑦括号 ⑧同类项 ⑨两 ⑩1 ⑪相同 ⑫两 ⑬公共解 ⑭一元一次 ⑮代入 ⑯加减 ⑰间接 ⑱等量关系各个击破例1 方法1：①×3－②，得－7y＝7，解得y＝－1.把y＝－1代入①，得x＝3＋2y＝3＋2×(－1)＝1.∴原方程组的解为方法2：②×2＋①得，7x＝7.解得x＝1.把x＝1代入②，得3＋y＝2，解得y＝－1.∴原方程组的解为题组训练 1.D 2.1 3.去分母，得5(x＋4)－2(x－3)＝－13.11\n去括号，得5x＋20－2x＋6＝－13.移项，得5x－2x＝－13－20－6.合并，得3x＝－39.系数化为1，得x＝－13. 4.由②得，2x－2y＝1.③ ①－③，得y＝4.将y＝4代入①得x＝.∴原方程组的解为例2 (1)设购进A型服装x件，B型服装y件．由题意，得解得答：购进A型服装50件，B型服装30件．A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售时，服装店的毛利润为：(100×0.8－60)×50＋(160×0.7－100)×30＝20×50＋12×30＝1360(元).3800－1360＝2440(元)．答：服装店打折售出比按标价售出少收入2440元．题组训练 1.B 2.A 3.B 4.设有x支篮球队和y支排球队参赛，由题意得解得答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．整合集训1.B 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.B 8. 9.0 10.答案不唯一，如： 11. 12.－10 13.去括号，得5x＝3x－12.移项，得5x－3x＝－12.合并同类项，得2x＝－12.系数化为1，得x＝－6. 14.去分母，得12－2(2x＋1)＝3(1＋x)．去括号，得12－4x－2＝3＋3x.移项、合并同类项，得－7x＝－7.把系数化为1，得x＝1. 15.②－①，得y＝1.将y＝1代入①得x＝3.11\n∴原方程组的解为 16.②×6，得3x－2y＝6.③③－①，得3y＝3.∴y＝1.把y＝1代入①，得3x－5＝3.∴x＝.∴原方程组的解为 17.由题意得解得将代入3x＋5y＝m＋2，得3×(－3)＋5×3＝m＋2.解得m＝4. 18.设余下的由乙单独完成用了x天，由题意，得(＋)×3＋x＝1.解得x＝18.所以18＋3＝21(天)．答：开始到完工共用了21天时间． 19.设这个队胜x场，则负(16－x)场．根据题意得2x＋(16－x)＝25，解得x＝9.∴16－x＝7.答：这个队胜、负场数分别是9场、7场． 20.设每件衬衫降价x元，根据题意得120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80×(1＋45%)．解得x＝20.答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 21.(1)三 (2)设A、B的标价分别为x元，y元，则由题意，得解得答：A、B的标价分别为90元，120元．设商店是打x折出售的，则(90×9＋8×120)＝1062.解得x＝6答：商店是打六折出售的． 22.(1)2 3 (2)设应放入x个大球，y个小球，由题意，得解得11\n答：应放入4个大球，6个小球． 23.(1)设年降水量为x万立方米，每人年平均用水量为y立方米，则解得答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．设该镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，则12000＋25×200＝20×25z.解得z＝34.∴50－34＝16(立方米)．答：该镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标． 24.C 提示：设搭建的6人帐篷是x个，搭建的4人帐篷是y个，依题意列出方程6x＋4y＝60，则3x＋2y＝30，即y＝.因为x、y是正整数，当x＝0时，y＝15；当x＝2时，y＝12；x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝6；当x＝8时，y＝3；当x＝10时，y＝0，所以共有6种方案． 26.(1)设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，依题意，得整理，得解得答：工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨．(2)300×8000－400×1000－15000－97200＝1887800(元)．答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元． 26.(1)由题意，得解得当用水量为30吨时，水费为：17×3＋13×5＝116(元)，9200×2%＝184(元)．∵116<184，∴小王家6月份最多能用水超过30吨．设小王家6月份用水量为x吨，由题意，得17×3＋13×5＋6.8(x－30)≤184，解得x≤40.∴小王家6月份最多能用水40吨．11
